Resolving an open question from 2006, we prove the existence of light-weight bounded-degree spanners for unit ball graphs in the metrics of bounded doubling dimension, and we design a simple $\mathcal{O}(\log^*n)$-round distributed algorithm that given a unit ball graph $G$ with $n$ vertices and a positive constant $\epsilon < 1$ finds a $(1+\epsilon)$-spanner with constant bounds on its maximum degree and its lightness using only 2-hop neighborhood information. This immediately improves the algorithm of Damian, Pandit, and Pemmaraju which runs in $\mathcal{O}(\log^*n)$ rounds but has a $\mathcal{O}(\log \Delta)$ bound on its lightness, where $\Delta$ is the ratio of the length of the longest edge in $G$ to the length of the shortest edge. We further study the problem in the two dimensional Euclidean plane and we provide a construction with similar properties that has a constant average number of edge intersection per node. This is the first distributed low-intersection topology control algorithm to the best of our knowledge. Our distributed algorithms rely on the maximal independent set algorithm of Schneider and Wattenhofer that runs in $\mathcal{O}(\log^*n)$ rounds of communication. If a maximal independent set is known beforehand, our algorithms run in constant number of rounds.


翻译:从2006年起,我们解决了一个未决问题,我们证明在捆绑的双倍维度维度的度量中,存在轻重量约束度球图,并且我们设计了一个简单的$\mathcal{O}(log ⁇ n)美元四轮分布算法,给一个单位球图$G$和1美元正常数$epsilon < 1美元,发现一个$(1 ⁇ epsilon)美元球球球球球球图,其最大度和亮度都有恒定的界限。我们只使用 2 hop 邻里信息来进一步研究Damian、Pandit和Pemmaraju的算法。它以$\ mathcal{O}(\log ⁇ n) 和Pemmaraju的计算法,运行于$mathcal{O}(grolog_n) 圆四轮,但有一个$gall=gall$G$(log) 和正数中我们已知的直径直径算法中,我们最常数中最常数的算数 。

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