Consider a system of $m$ polynomial equations $\{p_i(x) = b_i\}_{i \leq m}$ of degree $D\geq 2$ in $n$-dimensional variable $x \in \mathbb{R}^n$ such that each coefficient of every $p_i$ and $b_i$s are chosen at random and independently from some continuous distribution. We study the basic question of determining the smallest $m$ -- the algorithmic threshold -- for which efficient algorithms can find refutations (i.e. certificates of unsatisfiability) for such systems. This setting generalizes problems such as refuting random SAT instances, low-rank matrix sensing and certifying pseudo-randomness of Goldreich's candidate generators and generalizations. We show that for every $d \in \mathbb{N}$, the $(n+m)^{O(d)}$-time canonical sum-of-squares (SoS) relaxation refutes such a system with high probability whenever $m \geq O(n) \cdot (\frac{n}{d})^{D-1}$. We prove a lower bound in the restricted low-degree polynomial model of computation which suggests that this trade-off between SoS degree and the number of equations is nearly tight for all $d$. We also confirm the predictions of this lower bound in a limited setting by showing a lower bound on the canonical degree-$4$ sum-of-squares relaxation for refuting random quadratic polynomials. Together, our results provide evidence for an algorithmic threshold for the problem at $m \gtrsim \widetilde{O}(n) \cdot n^{(1-\delta)(D-1)}$ for $2^{n^{\delta}}$-time algorithms for all $\delta$.


翻译:考虑一个以美元为单位的多元方程式 $%p_i(x) = b_i_i(x) = b_i_i\leqm}$D\geq 2美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元。 我们研究确定最小的美元, 算法阈值, 有效算法可以为这些系统找到refutation( e. 不满意的证书) 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 美元, 单位, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 单位为美元, 美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位为美元, 单位, 单位,

0
下载
关闭预览

相关内容

因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
【哈佛大学商学院课程Fall 2019】机器学习可解释性
专知会员服务
103+阅读 · 2019年10月9日
大数据 | 顶级SCI期刊专刊/国际会议信息7条
Call4Papers
10+阅读 · 2018年12月29日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
计算机视觉的不同任务
专知
5+阅读 · 2018年8月27日
算法|随机森林(Random Forest)
全球人工智能
3+阅读 · 2018年1月8日
计算机视觉近一年进展综述
机器学习研究会
9+阅读 · 2017年11月25日
【计算机类】期刊专刊/国际会议截稿信息6条
Call4Papers
3+阅读 · 2017年10月13日
【推荐】决策树/随机森林深入解析
机器学习研究会
5+阅读 · 2017年9月21日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Arxiv
0+阅读 · 2021年12月14日
Arxiv
3+阅读 · 2017年12月1日
VIP会员
相关VIP内容
因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
【哈佛大学商学院课程Fall 2019】机器学习可解释性
专知会员服务
103+阅读 · 2019年10月9日
相关资讯
大数据 | 顶级SCI期刊专刊/国际会议信息7条
Call4Papers
10+阅读 · 2018年12月29日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
16+阅读 · 2018年12月24日
计算机视觉的不同任务
专知
5+阅读 · 2018年8月27日
算法|随机森林(Random Forest)
全球人工智能
3+阅读 · 2018年1月8日
计算机视觉近一年进展综述
机器学习研究会
9+阅读 · 2017年11月25日
【计算机类】期刊专刊/国际会议截稿信息6条
Call4Papers
3+阅读 · 2017年10月13日
【推荐】决策树/随机森林深入解析
机器学习研究会
5+阅读 · 2017年9月21日
【推荐】SVM实例教程
机器学习研究会
17+阅读 · 2017年8月26日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员