We propose a simple domain decomposition method for $d$-dimensional elliptic PDEs which involves an overlapping decomposition into local subdomain problems and a global coarse problem. It relies on a space-filling curve to create equally sized subproblems and to determine a certain overlap based on the one-dimensional ordering of the space-filling curve. Furthermore we employ agglomeration and a purely algebraic Galerkin discretization in the construction of the coarse problem. This way, the use of $d$-dimensional geometric information is avoided. The subproblems are dealt with in an additive, parallel way, which gives rise to a subspace correction type linear iteration and a preconditioner for the conjugate gradient method. To make the algorithm fault-tolerant we store on each processor, besides the data of the associated subproblem, a copy of the coarse problem and also the data of a fixed amount of neighboring subproblems with respect to the one-dimensional ordering of the subproblems induced by the space-filling curve. This redundancy then allows to restore the necessary data if processors fail during the computation. Theory supports that the convergence rate of such a linear iteration method stays the same in expectation, and only its order constant deteriorates slightly due to the faults. We observe this in numerical experiments for the preconditioned conjugate gradient method in slightly weaker form as well. Altogether, we obtain a fault-tolerant, parallel and efficient domain decomposition method based on space-filling curves which is especially suited for higher-dimensional elliptic problems.


翻译:我们建议一个简单的域分解法, 用于 $d$ 的维度椭圆形 PDE, 其中包括将分解为本地子域问题和全球粗化问题。 它依靠一个空填曲线来创建同等大小的子问题, 并根据空间填充曲线的一维顺序来确定某种重叠。 此外, 在构建粗糙问题时, 我们使用一个纯代数加仑金分解法的简单域分解法。 这样可以避免使用 $d$ 的维度几何信息 。 子问题用一种叠加法、 平行方式处理, 从而产生一个子空间修正类型线性线性变换曲线, 并以此为共振梯度方法设定一个先决条件。 要使算法的错误不耐受限性, 除了相关子问题的数据之外, 还要使用一个粗糙问题复制的复制法, 以及一个固定的相近维度的子问题排序, 由空间填充曲线所引发的低度变异性变的次度变异性变法, 特别是这种递缩法的递增法, 这样的递化方法可以恢复了数据的稳定性, 。 也就是的变变变变变的变的变的计算,, 恢复了一个必要的数据, 也就是, 恢复了一个必要的变化方法, 的变整, 的变整法, 的变整, 当它的精确变的变的变的变的变的变的变的变的变法,, 的变的变的变法, 恢复了它的变法, 恢复了它的变法, 的变的变的变法,, 的变的变的变的变法, 的变的变法, 的变的变的变的变的变法, 的变的变的变的变的变的变的变的变的变法, 的变的变的变的变的变的变法, 的变的变法, 的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的变的

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