Computing the convolution $A\star B$ of two length-$n$ integer vectors $A,B$ is a core problem in several disciplines. It frequently comes up in algorithms for Knapsack, $k$-SUM, All-Pairs Shortest Paths, and string pattern matching problems. For these applications it typically suffices to compute convolutions of nonnegative vectors. This problem can be classically solved in time $O(n\log n)$ using the Fast Fourier Transform. However, often the involved vectors are sparse and hence one could hope for output-sensitive algorithms to compute nonnegative convolutions. This question was raised by Muthukrishnan and solved by Cole and Hariharan (STOC '02) by a randomized algorithm running in near-linear time in the (unknown) output-size $t$. Chan and Lewenstein (STOC '15) presented a deterministic algorithm with a $2^{O(\sqrt{\log t\cdot\log\log n})}$ overhead in running time and the additional assumption that a small superset of the output is given; this assumption was later removed by Bringmann and Nakos (ICALP '21). In this paper we present the first deterministic near-linear-time algorithm for computing sparse nonnegative convolutions. This immediately gives improved deterministic algorithms for the state-of-the-art of output-sensitive Subset Sum, block-mass pattern matching, $N$-fold Boolean convolution, and others, matching up to log-factors the fastest known randomized algorithms for these problems. Our algorithm is a blend of algebraic and combinatorial ideas and techniques. Additionally, we provide two fast Las Vegas algorithms for computing sparse nonnegative convolutions. In particular, we present a simple $O(t\log^2t)$ time algorithm, which is an accessible alternative to Cole and Hariharan's algorithm. We further refine this new algorithm to run in Las Vegas time $O(t\log t\cdot\log\log t)$, matching the running time of the dense case apart from the $\log\log t$ factor.


翻译:以两个长度- 美元整数矢量计算 Convolution $A\star B$, 以两个长度- 美元整数矢量计算 $A, 美元B$是几个学科的一个核心问题。 它经常出现在Knapsack 的算法、 $k$- SUM、 全帕最短路径和字符串匹配问题。 对于这些应用程序, 它通常足以计算非负数矢量矢量的算法。 这个问题可以使用快速 Fleier 变换的方式, 以时间( O( n\log n) 的方式解决 。 然而, 所涉及的矢量很少, 因而人们可以指望产出敏感度的算法, 来计算非内向内向内向内向内向内向内向内向内, 将内向内向内向内向内向内, 内向内向内向内向内向内向内向内向内, 内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向内向後向後向内向内向内向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後向後

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