【弧长和单位切向量】图解高等数学-下 07

10.6 弧长和单位切向量 T

现在来看下曲线形状的特征, 这些特征能描述曲线弯曲和扭曲的程度.

曲线的弧长

来看看怎样定义光滑曲线的距离. 其实与平面曲线一样, 观察下面动图:

弧长函数

选取以 t 为参数 曲线 C 上的点 $\text{P(}{t}_0)$ 为基点, t 的每个值确定 C 上的一个点 $\text{P(t)=}⟨\text{x(t),y(t),z(t)}⟩$ 和一个沿曲线从基点测量起的距离 s(t) 函数:

s 的每个值确定 C 上的一个点, s 称为曲线的弧长参数, 对于研究空间曲线的弯曲和扭转非常有用.

单位切向量 T

速度向量 v=dr/dt 切于曲线, 从而向量 T=v/|v| 是曲线的单位切向量, 它是描述空间物体运动标架的三个向量之一.

曲率和平面曲线的主单位法向量

曲线的"弯曲"和"扭曲"并不是相同. 当一个质点沿平面光滑曲线运动时, T=dr/ds 随曲线的弯曲而转动. T 是单位向量, 在质点沿曲线运动时它的长度保持常值而仅仅方向改变. 单位长度 T 的转动率为曲率, 用希腊字母 [Kappa] 记号(读 kappa).

如果大, T 在质点通过 P 时转动得就急剧, 在点 P 的曲率就大, 反之亦然. 可以观察下图:

当曲线弯曲时, 向量 dT/ds 指向 T 转动的方向. 也就是说, 主单位法向量指向曲线凹的一侧. 观察下面动图:

曲率圆和曲率半径

在平面曲线的 [Kappa]!=0 的点 P 的曲率圆是曲线所在平面上的圆周:

1. 它在点 P 切于曲线(跟曲线有同样的切线)

2. 它在点 P 跟曲线有同样的曲率

3. 位于曲线的凹的一侧.

曲线在点 P 的曲率半径是曲率圆的半径:

下面观察 $\text{y=}{x}^2$ 的曲率圆动画: