【华东师大2021课程】现代数值分析 （数值线性代数部分），附slides

数值分析是什么

Numerical analysis: the study of quantitative approximations to the solutions of mathematical problems including consideration of and bounds to the errors involved. —— The dictionary by Merriam­Webster (韦氏英语词典), 2021 

Numerical analysis the study of methods of approximation and their accuracy, etc. —— The Chambers Dictionary (钱伯斯英语词典), 2021 

Numerical analysis is the study of algorithms for solving the problems of continuous mathematics, by which we mean problems involving real or complex variables. —— Lloyd N. Trefethen, Princeton Companion to Mathematics, 2008

计算数学 

1947 年 Von Neumann 和 Goldstine 在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩 阵的数值求逆”的著名论文, 开启了现代计算数学的研究。一般来说, 计算数学主要研究如何求出数学问题的近似解 (数值解), 包括算法 的设计、分析与计算机实现。计算数学主要研究内容: 数值代数, 数值逼近, 数值微积分, 微分方程数值解, 数值优化等。

http://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/MNA/index.html

计算数学的主要任务 

• 算法设计: 构造求解各种数学问题的数值方法 

• 算法分析: 收敛性、稳定性、复杂性、计算精度等 

• 算法实现: 编程实现、软件开发 

好的数值方法一般需满足以下几点  

• 有可靠的理论分析, 即收敛性、稳定性等有数学理论保证 

• 有良好的计算复杂性 (时间和空间) 

• 易于在计算机上实现 

• 要有具体的数值试验来证明是行之有效的

课程主要内容

• 线性方程组 的直接解法 (讲义第二讲) 

• 线性方程组的迭代方法 (讲义第六讲) 

• 线性最小二乘问题 的数值算法 (讲义第三讲) 

• 非对称 矩阵特征值 计算 (讲义第四讲) 

• 对称矩阵 矩阵特征值 计算 (讲义第五讲)

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