【复数】图解普林斯顿微积分 19

第 28 章 复数

28.1 基础

这部分内容请查看 【不可能的数字:复数】- 图解不可不知的数学知识

若z = x + iy, 与其对应的共轭复数(complex conjugate) x-iy . z 的模(modulus) 为 $\sqrt{x^2+y^2}$, 写作 |z| .

复数与它的共轭复数的乘积是模的平方, 即:

复指数函数(Complex exponentials)

再《幂级数和泰勒级数》一章已经知道:

如果 x 为复数 z, 就会得到一个项为复数的级数 $e^z$ , 其中z 是任意复数, 则且级数收敛.

28.2 复平面

在复平面内将每个点看作一个复数, 而不是一对实数. 可将平面中的点用极坐标代替.

那么在复平面内极坐标为 (r, θ) 的点, 所表示的复数的笛卡尔坐标 (x= cos(θ), y=r sin(θ)) :

下面来看看数学中最著名公式之一的欧拉恒等式:

观察下图不同的 θ 值对应的 $e^{\text{i}\theta }$, 请留意动画停顿之处(特别是在复平面中等于 -1 的地方)

对于不在单位圆上的点, 你只需乘以 r , 也就是如果 (x,y) 和 (r,θ) 为相同的点, 则 $\text{x+i y = r}{e}^{i\theta }$.

从上图中可以得知 $e^{i\theta }$ 关于 θ 是周期的, 且周期为 2π . 这意味着 $e^{i\left(3\pi /2\right)}\text{=}{e}^{-\text{i}\pi /2}$ .

笛卡尔形式和极坐标形式互换

将极坐标形式的复数转成笛卡尔形式, 可以利用欧拉恒等式, 即 $e^{\text{i}\theta }\text{=cos(}\theta \text{)+i sin(}\theta \text{)}$ . 例如

由笛卡儿形式转换到极坐标形式要用到这个公式 $\text{r=}\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\frac{y}{x}$ . 比如对于辅助 z= 1-i 中 x=1, y=-1. 由图形知道点 (1,-1) 再第四象限, 且两种 θ 均正确(加上 2π 的任意整数倍).

28.3 复数的高次幂

极坐标形式比较容易进行乘法和取幂运算, 比如

28.4 解 $z^n$ = w

如何解 $z^n\text{=w}$ 的方程, 其中 n 是整数, w 为复数. 这意味着要取 w 的 n 次方根. 使用极坐标形式的幂次来进行求解.

一般第, 方程有 n 个解, 当画出这些解时, 它们的顶点形成了一个正 n 多边形.

28.6 一些三角级数

三角级数是系数为 $a_n$ 和 $b_n$ , 形如下面的级数:

28.7 欧拉恒等式和幂级数

来看看用幂级数来证明欧拉恒等式吧:

按照之前 28.1.1 节对 $e^z$ 的定义, 将 z 替换为 iθ , 可以得到

由于i 的幂在值 1, i, -1, -i 间持续循环:

展开后整理实部系数和虚部系数, 可以推出欧拉等式  $e^{\text{i}\theta }\text{=cos(}\theta \text{)+i sin(}\theta \text{)}$