如何证明? 《Proofs: 长篇数学导论》硬核书，330页pdf

这本教科书是为学生设计的。与典型的定义-定理-证明-重复的风格不同，本文包含了更多的评论、动机和解释。这些证明并不简洁，目的是为了理解经济。此外，几十种证明之前都有“草稿工作”或证明草图，给学生一个整体的看法，并解释他们将如何想出自己的证明。本书涵盖了直观证明、直接证明、集合、归纳法、逻辑学、对位律、矛盾、函数和关系。文本的目的是使想法可见，并包含超过200个插图。写作是轻松的和对话式的，包括周期性的幽默尝试。这篇文章也是高等数学导论。这部分是通过所选的例子和定理来完成的。此外，接下来的每一章是一个数学领域的介绍。这些理论包括拉姆齐理论、数论、拓扑学、序列、真实分析、大数据、博弈论、基数和群论。每一章之后都是“建议”，这是一些我希望自己在上验证入门课时就已经知道的简短想法。它们包括对材料的详细评论、学习技巧、历史笔记、数学文化评论等等。此外，在每一章的练习后是一个未解决的数学问题的介绍。在第一个附录中，我们讨论了一些进一步的证明方法，第二个附录收集了一些特别漂亮的证明，第三个附录是一些写作建议。

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