本书不求建立一套自足的或者界限分明的体系, 何况按科研的普遍经验, 如一味要 求万事具备才敢开疆拓土, 结果往往是一事无成, 代数相关领域尤其如此. 阅读过程中 难免会遇上新的或未夯实的知识点, “引而伸之, 触类而长之” 兴许是更合适的态度. 即 便如此, 在此仍有必要描绘一条模糊的底线. 保守估计, 本书期望读者对大学数学专业 低年级课程有充分的掌握. 如果还修习过一学期的本科代数课程, 譬如 [59] 的前半部或 [55], 就应当能顺利理解本书大部分的内容, 但这不是必需的. 至于具体情形自然得具体 分析, 既系于读者个人的学思经历, 也和胆识有关.

第一章: 集合论 读者对集合应有基本的了解. 本书以集合论居首, 一则是尊重体 系的严整性, 二则是完整说明基数和 Zorn 引理的来龙去脉. 最后介绍的 Grothendieck 宇宙是应用范畴论时的必要安全措施. 大基数理论对一些高阶的范畴论构造实属必需, 我们希望在日后探讨同调代数时予以阐明.

第二章: 范畴论基础 本章完整介绍范畴论的基础概念, 以范畴, 函子与自然变换 为中心, 着重探讨极限与可表性. 为了说明这些观念是自然的, 我们将自数学各领域中 博引例证.

第三章: 幺半范畴 这是带有某种乘法操作的范畴. 幺半范畴在实践与理论两面 占据要津, 因为它一方面是向量空间张量积的提纯, 同时又能用来定义范畴的 “充实” 化, 例如实用中常见的加性范畴. 前三章主要在观念或体系上占据首位, 实际阅读时不必循序. 建议初学者先迅速浏览, 并在后续章节中逐渐认识这些内容的必要性, 回头加以巩固. 毋须在初次阅读时就强求 逐字逐句地理解: 这不是唯一的方法, 也不是最好的方法.

第四章: 群论 对幺半群和群的基本理论予以较完整的说明, 包括自由群的构造, 也一并介绍群的完备化. 后者自然地引向 pro-有限群的概念, 这是一类可以用拓扑语汇 来包装的群论结构, 它对于 p-进数, 赋值和无穷 Galois 理论的研讨是必需的.

第五章: 环论初步 考虑到后续内容的需要, 此章也涉及完备化及对称多项式的 初步理论. 之所以称为初步, 是为了区别于交换环论 (又称交换代数) 与非交换环的进 阶研究, 这些将在后续著作予以探讨.

第六章: 模论 此章触及模论的基本内容, 包括张量积. 向量空间和交换群则视作 模的特例. 我们还会初步探讨复形, 正合列与同调群的观念. 系统性的研究则是同调代 数的任务. 关于半单模, 不可分模与合成列的内容可以算是后续著作的铺垫.

第七章: 代数初步 这里所谓的 “代数” 是构筑在模上的一种乘法结构, 虽然易生 混淆, 此词的使用早已积重难返, 本书只能概括承受. 本章还将针对代数引入整性的一般定义, 讨论分次代数, 并以张量代数及衍生之外代数和对称代数为根本实例, 这些也 是线性代数中较为深入的题材, 有时又叫作多重线性代数. 称为初步同样是为了区别于 代数的细部研究, 特别是非交换代数的表示理论, 那是另一个宏大主题.

第八章: 域扩张 扩域的研究构成了域论的一大特色, 这根植于解方程式的需求. 本书不回避无穷代数扩张和超越扩张, 但对于更精细的结构理论如 p-基等则暂予略过.

第九章: Galois 理论 有限扩域的 Galois 理论常被视为本科阶段代数学的终点, 这还是在课时充足的前提下; 如此就容易给人一种似是而非的印象, 仿佛 Galois 理论的 要旨不外是解高次方程和尺规作图. 本章包括这些应用, 但置无穷 Galois 理论于核心 位置, 因为在数论等应用中, 由可分闭包给出的绝对 Galois 群才是最根本的对象. 为了 阐述这点, 使用 pro-有限群的语言便是难免的.

第十章: 域的赋值 此章第一节是关于滤子与完备化的讨论, 无妨暂时略过. 其后 介绍 Krull 赋值的一般概念, 取值容许在任意全序交换群上, 然后引入域上的赋值与绝 对值. 这些主题既可以看作代数的支脉, 也可以看作非 Archimedes 分析学的入门. 相 关思路现已汇入了数论, 几何与动力系统的研究. 最后介绍的 Witt 向量则在算术几何 的新近发展中承担了吃重的角色.

对于抽象程度较高的部分, 正文将穿插若干和理论主线无关, 然而饶富兴味或 者曾发挥重要历史功用的结果, 例子包括 Möbius 反演 (§5.4), Frobenius 定理 7.2.9, Grassmann 簇的 Plücker 嵌入 (§7.7) 和 Ostrowski 定理 10.4.6 等等. 本书不区分基础内容与选学内容, 读者在订定阅读顺序时宜参酌各章开头的介绍 和阅读提示.

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现前这份书稿, 是计划中的《代数学方法》卷二的一部分, 预估约占一半的内容. 除了缺少后续章节, 导言和每章开头的阅读提示或者极简略, 或者付之阙如. 习题部分 也还相当贫乏. 这是一份不折不扣的半成品. 可以预期的是将有大量的笔误和数学错 误. 现有的章节也可能在未来改动. 之所以公布这么一份草稿, 主要是我相信它对读者们是有益的, 读者群体也应当是 广泛的, 其次则是抵达下一个进度节点尚需时日, 最后, 我盼望各位的反馈能让成品更 快更好地面世.

很显然, 《代数学方法》卷一覆盖本书所需的全部代数知识. 由于卷一和此处使用 的都是标准术语, 通行的同类教材也应该能提供这些背景. 建议读者先阅读开头的凡例 部分, 确认符号和惯例.

本卷的编写精神大致上和卷一类似, 但由于处理的内容不同, 具体风格也有所改变. 这些差异只能在未来的导言里仔细解释. 如同卷一, 本书并不鼓励初学者循序阅读, 除 非对抽象方法已经有充分高的接受度. 具体的阅读须知将见于导言和每章开头, 遗憾的 是这些内容只有待全书定型后方能撰写. 编撰过程中广泛参考了各种相关著作, 一部分已在正文引用, 剩余部分计划待全书 完成后在导言部分列出, 并非有意遗漏, 敬请谅解. 当前内容大致相当于传统上的同调代数, 这是本真意义的 “线性代数” 的一个真子 集. 从现代的观点看, 前五章达到了一个勉强够用的体系, 但即使作为经典同调代数的。

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C++17是现代 C++编程中的下一个版本,最新版本的gcc、clang和 Visual C++ 都至少已经部分支持它。尽管 迁移到 C++17 并不像迁移到 C++11一样是一个巨大的变化,但 C++17也包含了非常多很小但却很有价值的语言 和库特性。它们再一次改变了我们使用 C++编程的方式,无论是对应用程序员还是提供基础库的程序员来说都 是如此。这本书将会展现出 C++17 中所有的新的语言和库特性。除了用例子展示这些特性的使用之外,本书还将覆 盖这些特性的动机和背景信息。像我的其他书一样,这本书也将专注于这些新特性在实践中的应用,并演示这 些特性如何影响我们的日常编程和如何在项目中受益于这些特性。

https://github.com/MeouSker77/Cpp17

本书的整体结构

这本书覆盖了 C++17 引入的所有变化。既包括影响应用程序员日常编程的那些语言和库特性,也包括那些 用于编写复杂的(基础)库实现的特性。然而,更一般的情况和相关示例会放在前面。

不同的章节被分成若干组,除了最先介绍的语言特性可能会被后面的库特性使用之外,这样分组并没有什么 深层的原因。理论上,你可以以任意顺序阅读这些章节。如果会用到其他章节的特性,那么将会有相应的交叉 引用。结果是,这本书包括以下部分:

• Part I覆盖了新的非模板语言特性。

• Part II 覆盖了用于模板泛型编程的新的语言特性。

• Part III 介绍了新的标准库组件。

• Part IV 覆盖了现有标准库组件的扩展和修改。

• Part V覆盖了为专家例如基础库程序员设计的语言和库特性。

• Part VI 包含了有关 C++17的一些通用的提示

目录内容: 第一部分 基本语言特性

第一章 结构化绑定

第二章 带初始化的 if 和 switch 语句

第三章 内联变量

第四章 聚合体扩展

第五章 强制省略拷贝或传递未实质化的对象

第六章 lambda 表达式扩展

第七章 新属性和属性特性

第八章 其他语言特性

第二部分 模板特性

第九章 类模板参数推导

第十章 编译期 if 语句

第十一章 折叠表达式

第十二章 处理字符串字面量模板参数

第十三章 占位符类型作为模板参数

第十四章 扩展的 using 声明

第三部分 新的标准库组件

第十五章 std::optional<>

第十六章 std::variant<>

第十七章 std::any

第十八章 std::byte

第十九章 字符串视图

第二十章 文件系统库

第四部分 已有标准库的扩展和修改

第二十一章 类型特征扩展

第二十二章 并行 STL 算法

第二十三章 新的 STL 算法详解

第二十四章 子串和子序列搜索器

第二十五章 其他工具函数和算法

第二十六章 容器和字符串扩展

第二十七章 多线程和并发

第二十八章 标准库的其他微小特性和修改

第五部分 专家的工具

第二十九章 多态内存资源 (PMR)

第三十章 使用 new 和 delete 管理超对齐数据

第三十一章 std::to_chars() 和 std::from_chars()

第三十二章 std::launder()

第三十三章 编写泛型代码的改进

第六部分 一些通用的提示

第三十四章 总体性的 C++17 事项

第三十五章 废弃和移除的特性

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线性代数是计算和数据科学家的基本工具之一。这本书“高级线性代数:基础到前沿”(ALAFF)是一个替代传统高级线性代数的计算研究生课程。重点是数值线性代数,研究理论、算法和计算机算法如何相互作用。这些材料通过将文本、视频、练习和编程交织在一起来保持学习者的参与性。

我们在不同的设置中使用了这些材料。这是我们在德克萨斯大学奥斯汀分校名为“数值分析:线性代数”的课程的主要资源,该课程由计算机科学、数学、统计和数据科学、机械工程以及计算科学、工程和数学研究生课程提供。这门课程也通过UT-Austin计算机科学硕士在线课程提供“高级线性代数计算”。最后,它是edX平台上名为“高级线性代数:基础到前沿”的大规模在线开放课程(MOOC)的基础。我们希望其他人可以将ALAFF材料重新用于其他学习设置,无论是整体还是部分。

为了退怕学习者,我们采取了传统的主题的数字线性代数课程,并组织成三部分。正交性,求解线性系统,以及代数特征值问题。

  • 第一部分:正交性探讨了正交性(包括规范的处理、正交空间、奇异值分解(SVD)和解决线性最小二乘问题)。我们从这些主题开始,因为它们是其他课程的先决知识,学生们经常与高等线性代数并行(甚至在此之前)进行学习。

  • 第二部分:求解线性系统集中在所谓的直接和迭代方法,同时也引入了数值稳定性的概念,它量化和限定了在问题的原始陈述中引入的误差和/或在计算机算法中发生的舍入如何影响计算的正确性。

  • 第三部分:代数特征值问题,重点是计算矩阵的特征值和特征向量的理论和实践。这和对角化矩阵是密切相关的。推广了求解特征值问题的实用算法,使其可以用于奇异值分解的计算。本部分和本课程以在现代计算机上执行矩阵计算时如何实现高性能的讨论结束。

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概率论起源于17世纪的法国,当时两位伟大的法国数学家,布莱斯·帕斯卡和皮埃尔·德·费马,对两个来自机会博弈的问题进行了通信。帕斯卡和费马解决的问题继续影响着惠更斯、伯努利和DeMoivre等早期研究者建立数学概率论。今天,概率论是一个建立良好的数学分支,应用于从音乐到物理的学术活动的每一个领域,也应用于日常经验,从天气预报到预测新的医疗方法的风险。

本文是为数学、物理和社会科学、工程和计算机科学的二、三、四年级学生开设的概率论入门课程而设计的。它提出了一个彻底的处理概率的想法和技术为一个牢固的理解的主题必要。文本可以用于各种课程长度、水平和重点领域。

在标准的一学期课程中,离散概率和连续概率都包括在内,学生必须先修两个学期的微积分,包括多重积分的介绍。第11章包含了关于马尔可夫链的材料,为了涵盖这一章,一些矩阵理论的知识是必要的。

文本也可以用于离散概率课程。材料被组织在这样一种方式,离散和连续的概率讨论是在一个独立的,但平行的方式,呈现。这种组织驱散了对概率过于严格或正式的观点,并提供了一些强大的教学价值,因为离散的讨论有时可以激发更抽象的连续的概率讨论。在离散概率课程中,学生应该先修一学期的微积分。

为了充分利用文中的计算材料和例子,假设或必要的计算背景很少。所有在文本中使用的程序都是用TrueBASIC、Maple和Mathematica语言编写的。

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Edwin Thompson Jaynes所著的Probability Theory: The Logic of Science,本书暂无中译本,影印本名为《概率论沉思录》也已绝版。这本书是作者的遗著,花费半个世纪的时间完成,从名字就可以看出是一部神书。作者从逻辑的角度探讨了基于频率的概率,贝叶斯概率和统计推断,将概率论这门偏经验的学科纳入数理逻辑的框架之下。如果读这本书,千万要做好烧脑的准备。

《概率论沉思录(英文版)》将概率和统计推断融合在一起,用新的观点生动地描述了概率论在物理学、数学、经济学、化学和生物学等领域中的广泛应用,尤其是它阐述了贝叶斯理论的丰富应用,弥补了其他概率和统计教材的不足。全书分为两大部分。第一部分包括10章内容,讲解抽样理论、假设检验、参数估计等概率论的原理及其初等应用;第二部分包括12章内容,讲解概率论的高级应用,如在物理测量、通信理论中的应用。《概率论沉思录(英文版)》还附有大量习题,内容全面,体例完整。

《概率论沉思录(英文版)》内容不局限于某一特定领域,适合涉及数据分析的各领域工作者阅读,也可作为高年级本科生和研究生相关课程的教材。

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自Goodfellow等人2014年开创性的工作以来,生成式对抗网(GAN)就受到了相当多的关注。这种关注导致了GANs的新思想、新技术和新应用的爆炸。为了更好地理解GANs,我们需要理解其背后的数学基础。本文试图从数学的角度对GANs进行概述。许多学数学的学生可能会发现关于GAN的论文更难以完全理解,因为大多数论文是从计算机科学和工程师的角度写的。这篇论文的目的是用他们更熟悉的语言来介绍GANs。

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【导读】纽约大学开设的离散数学课程,这是一门运用于计算机科学的离散数学课程。这只是一门一学期的课程,所以有很多话题是它没有涉及到的,或者没有深入讨论。但我们希望这能给你一个技能的基础,你可以在你需要的时候建立,特别是给你一点数学的成熟——对数学是什么和数学定义和证明如何工作的基本理解。

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本备忘单是机器学习手册的浓缩版,包含了许多关于机器学习的经典方程和图表,旨在帮助您快速回忆起机器学习中的知识和思想。

这个备忘单有两个显著的优点:

  1. 清晰的符号。数学公式使用了许多令人困惑的符号。例如,X可以是一个集合,一个随机变量,或者一个矩阵。这是非常混乱的,使读者很难理解数学公式的意义。本备忘单试图规范符号的使用,所有符号都有明确的预先定义,请参见小节。

  2. 更少的思维跳跃。在许多机器学习的书籍中,作者省略了数学证明过程中的一些中间步骤,这可能会节省一些空间,但是会给读者理解这个公式带来困难,读者会在中间迷失。

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