本书不求建立一套自足的或者界限分明的体系, 何况按科研的普遍经验, 如一味要 求万事具备才敢开疆拓土, 结果往往是一事无成, 代数相关领域尤其如此. 阅读过程中 难免会遇上新的或未夯实的知识点, “引而伸之, 触类而长之” 兴许是更合适的态度. 即 便如此, 在此仍有必要描绘一条模糊的底线. 保守估计, 本书期望读者对大学数学专业 低年级课程有充分的掌握. 如果还修习过一学期的本科代数课程, 譬如 [59] 的前半部或 [55], 就应当能顺利理解本书大部分的内容, 但这不是必需的. 至于具体情形自然得具体 分析, 既系于读者个人的学思经历, 也和胆识有关.
第一章: 集合论 读者对集合应有基本的了解. 本书以集合论居首, 一则是尊重体 系的严整性, 二则是完整说明基数和 Zorn 引理的来龙去脉. 最后介绍的 Grothendieck 宇宙是应用范畴论时的必要安全措施. 大基数理论对一些高阶的范畴论构造实属必需, 我们希望在日后探讨同调代数时予以阐明.
第二章: 范畴论基础 本章完整介绍范畴论的基础概念, 以范畴, 函子与自然变换 为中心, 着重探讨极限与可表性. 为了说明这些观念是自然的, 我们将自数学各领域中 博引例证.
第三章: 幺半范畴 这是带有某种乘法操作的范畴. 幺半范畴在实践与理论两面 占据要津, 因为它一方面是向量空间张量积的提纯, 同时又能用来定义范畴的 “充实” 化, 例如实用中常见的加性范畴. 前三章主要在观念或体系上占据首位, 实际阅读时不必循序. 建议初学者先迅速浏览, 并在后续章节中逐渐认识这些内容的必要性, 回头加以巩固. 毋须在初次阅读时就强求 逐字逐句地理解: 这不是唯一的方法, 也不是最好的方法.
第四章: 群论 对幺半群和群的基本理论予以较完整的说明, 包括自由群的构造, 也一并介绍群的完备化. 后者自然地引向 pro-有限群的概念, 这是一类可以用拓扑语汇 来包装的群论结构, 它对于 p-进数, 赋值和无穷 Galois 理论的研讨是必需的.
第五章: 环论初步 考虑到后续内容的需要, 此章也涉及完备化及对称多项式的 初步理论. 之所以称为初步, 是为了区别于交换环论 (又称交换代数) 与非交换环的进 阶研究, 这些将在后续著作予以探讨.
第六章: 模论 此章触及模论的基本内容, 包括张量积. 向量空间和交换群则视作 模的特例. 我们还会初步探讨复形, 正合列与同调群的观念. 系统性的研究则是同调代 数的任务. 关于半单模, 不可分模与合成列的内容可以算是后续著作的铺垫.
第七章: 代数初步 这里所谓的 “代数” 是构筑在模上的一种乘法结构, 虽然易生 混淆, 此词的使用早已积重难返, 本书只能概括承受. 本章还将针对代数引入整性的一般定义, 讨论分次代数, 并以张量代数及衍生之外代数和对称代数为根本实例, 这些也 是线性代数中较为深入的题材, 有时又叫作多重线性代数. 称为初步同样是为了区别于 代数的细部研究, 特别是非交换代数的表示理论, 那是另一个宏大主题.
第八章: 域扩张 扩域的研究构成了域论的一大特色, 这根植于解方程式的需求. 本书不回避无穷代数扩张和超越扩张, 但对于更精细的结构理论如 p-基等则暂予略过.
第九章: Galois 理论 有限扩域的 Galois 理论常被视为本科阶段代数学的终点, 这还是在课时充足的前提下; 如此就容易给人一种似是而非的印象, 仿佛 Galois 理论的 要旨不外是解高次方程和尺规作图. 本章包括这些应用, 但置无穷 Galois 理论于核心 位置, 因为在数论等应用中, 由可分闭包给出的绝对 Galois 群才是最根本的对象. 为了 阐述这点, 使用 pro-有限群的语言便是难免的.
第十章: 域的赋值 此章第一节是关于滤子与完备化的讨论, 无妨暂时略过. 其后 介绍 Krull 赋值的一般概念, 取值容许在任意全序交换群上, 然后引入域上的赋值与绝 对值. 这些主题既可以看作代数的支脉, 也可以看作非 Archimedes 分析学的入门. 相 关思路现已汇入了数论, 几何与动力系统的研究. 最后介绍的 Witt 向量则在算术几何 的新近发展中承担了吃重的角色.
对于抽象程度较高的部分, 正文将穿插若干和理论主线无关, 然而饶富兴味或 者曾发挥重要历史功用的结果, 例子包括 Möbius 反演 (§5.4), Frobenius 定理 7.2.9, Grassmann 簇的 Plücker 嵌入 (§7.7) 和 Ostrowski 定理 10.4.6 等等. 本书不区分基础内容与选学内容, 读者在订定阅读顺序时宜参酌各章开头的介绍 和阅读提示.
【443页pdf】代数学方法 卷一：基础架构
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