【平面的格林(Green)定理】图解高等数学-下 24

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13.4 平面的格林(Green)定理

如何计算保守场的流量积分, 需要先对场建立势函数, 求出路径端点的值. 当向量场不是保守场时候, 如何计算穿过平面闭曲线的流量和通量积分呢. 可用格林定理, 将线积分变成二重积分.

散度(Divergence)

向量场的散度, 也称为在场中某一点的通量密度(flux density). 设 F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j 为一平面流体的速度场, 则在点 (x,y) 处的散度(Divergence)或通量密度为:

观察下图动画, 如果 Source 处散度为正, 则流体从源处流出, 如果为负, 则流进(或压缩)到该点处.

在一点的环量密度: 旋度的 k-分量

在平面区域旋度(环量密度, Circulation Density)正向为绕 z 轴逆时针旋转, 可视为流体绕某一点旋转的速率. 在旋转方向为逆时针则旋度的 k-分量为正, 反之为负. 也就相当在度量一个"涡轮"以什么方向旋转以及旋转有多快, 可以观察下面动画:

观察下面两个动图, 在向量场 F(x,y)=(Cos(y)-1. Sin(x)^3, -0.1 y-1. Sin(x)) 中取 9 个不同点处的旋度和散度的情况:

格林定理的两种形式

格林定理揭示了曲线所围的区域与边界上线积分的关系.

Green 定理(通量 - 散度形式或法向形式)

Green 定理(环量 - 旋度形式或切向形式)