豆瓣评分9.8，最赞的微积分读本

前一段时间，腾讯公布一款全新功能游戏《微积历险记》。当你被困在一个看似美丽却危机四伏的星球上，为了拯救自己，你要做的不是荒野求生也不是打败怪兽，而是要利用微积分知识来推导公式，绘制函数图像，激活机关，最终拯救自己。

天啊！遥想上学时被微积分虐得体无完肤，本以为可以逃掉，但是现在看来不会点数学知识，连游戏都不能好好玩了。

那既然逃不掉，不如我们迎上去，打它个通关，证明一下自己的数学实力不是盖的。不过每当翻开微积分教材我都不禁打个寒颤，每次都发誓要跟它走到最后，可是到头来却发现自己并不懂它。学渣表示需要一本书来精进一下。

突然想到有一位老朋友可能很适合我，也是时候把它翻出来好好读一下了。它就是这本深受读者喜爱的《普林斯顿微积分读本（修订版）》。别看它有 648 页，很厚的样子，但是你只要花三个星期左右就能刷完，因为这本书实在是很有趣很经典，翻开便不想停下。

作者本人很看重做题的思维，没有故作高深，他采用一种“内心独白”的方式来讲解微积分，而不是一大堆数字和公式的堆砌。书中有些证明作者都是自己一步一步推导过来的，非常深入浅出。美中不足是书中未设置习题，但是有大量示例供大家学习，相信你读到最后会对微积分有一个全新的认识。相信我，你会收获成就感的！ 

豆瓣评分9.8，来看看读者怎么说？

作者：不会飞的章鱼（来自豆瓣）

来源：

https://book.douban.com/review/8501361/

记得那是个中午，我坐在图书馆的自习座位上，调节了下我略带模糊的视力，伸展了略带疲惫的筋骨，书签夹在了《普林斯顿微积分读本》的第十六章。是的，我已经看完了前十五章的内容，我的荧光笔已经扫过了书上前 300 页的内容。（是的，你并没有看错，不是《普林斯顿历史》，也不是什么新奇小说，就是一本厚厚的数学书）

相遇

年初开始看这本书，刚开始拿到手感觉好厚啊，600 多页，这怎么能看得完？！而且我曾经对数学有种恐惧感，令我始终摆脱不了这样的情形，于是我抱着忐忑的心情，翻开了这本书....

相知

翻开这本书的前言，我被这幽默风趣的开头语逗笑了，感觉我不像是翻开了一本数学书，而是故事书。

全书共 30 个篇章，外加两个附录，主要是对一些重要的定理进行证明。30 个篇章从最基本的函数图像、极限、导数等进行讲起，再到后来微分方程和积分的方法。从每篇文章的编排和作者的表述可以看出作者数学功底的深厚，深入浅出地介绍了各种求导方法和证明极限的过程。在此，我突然想起我曾经看过的一本书《什么是数学》上的一句话，大致意思是：有些作者总喜欢把简单的问题或者定理复杂化，以显示自己的博学多才和深厚的学术功底，却不知道能把复杂的问题简单化才是真正的本事。所以我很庆幸自己遇到了后者。这本书还有一个最大的不同在于，读其他的数学书感觉像是单方面通信，对方在发送信息，我就一直接收；然而这本书给我的感觉是在和作者进行平等地交流，我猜测他在写数学书的同时也研习过心理学，不然我在看这本书的过程中的心理变化作者怎么会判断的如此准确并给予了适当的提醒呢？

与数学相识的过程

记得我是从小学六年级开始对数学感兴趣，尤其喜欢代数式的化简与计算，那时候的我很单纯，就想着把眼前的一道道题目解答好就很开心了。就像去 AC 一道道编程题，喜欢寻找那瞬间 AC 通过的快感，解数学题也一样，当我看着把很长的一段多项式化简为一个整数 1 或 0 时，就会油然产生一种成就感。直到高一，因为每天有大量的数学课后作业要做，我来不及享受数学带给我的快乐，转眼就被各种作业压力所吞没，使我有很长一段时间惧怕数学。到了大学，高等数学课程也是在恍恍惚惚间略过，结课后就扔在了书架不起眼的角落里。

这就是我与数学爱恨交织的过程，我曾想过再重新开始，却发现当我拿起我的高数课本时竟然感到如此陌生，看了半天内心也丝毫没有当年的感觉。

所以我很感激这本书的出现，让我坚持像打鸡血一样找到了最初的激动感，并感到微积分也不是这么难的。这本书现在放在了我书架上最显眼的位置，每天都会抽出来翻一翻，虽然已经看完了一半，但我知道我的数学求学路还会继续走下去！

看了这个书评，相信很多小伙伴在其中看到了自己的影子，看到了自己一路上与数学的爱恨纠葛。但是无论数学怎样虐我们，我们都会待她如初恋一般。不管是玩游戏还是做技术，都希望数学不是拖你后腿的那个。

作者：阿德里安·班纳

译者：杨爽 赵晓婷 高璞

• 豆瓣评分 9.8 分的《普林斯顿微积分读本（修订版）》

• 一本将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起的经典著作

• 战胜微积分的必备工具

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳教授的微积分复习课程，是对于任何学习单变量微积分读者的指导书。作者以独创的“内心独白”方式， 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点， 着重训练大家自己解答问题的能力。

另外，本书的配套视频大家可以到网站上观看：http://press.princeton.edu/video/banner/

遇见数学的李想老师，之前做过一个“图解普林斯顿微积分合集”。感兴趣的小伙伴可以点击链接查看：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/31199228

作者简介

阿德里安·班纳，澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002 年起任职于 INTECH 公司，现为 INTECH 公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

目

第1章　函数、图像和直线　　1

1.1　函数　　1

1.2　反函数　　6

1.3　函数的复合　　10

1.4　奇函数和偶函数　　12

1.5　线性函数的图像　　14

1.6　常见函数及其图像　　16

第2章　三角学回顾　　21

2.1　基本知识　　21

2.2　扩展三角函数定义域　　23

2.3　三角函数的图像　　29

2.4　三角恒等式　　32

第3章　极限导论　　34

3.1　极限：基本思想　　34

3.2　左极限与右极限　　36

3.3　何时不存在极限　　37

3.4　在∞和-∞处的极限　　38

3.5　关于渐近线的两个常见误解　　41

3.6　三明治定理　　43

3.7　极限的基本类型小结　　45

第4章　求解多项式的极限问题　　47

4.1　x → a时的有理函数的极限　　47

4.2　x → a时的平方根的极限　　50

4.3　x → ∞时的有理函数的极限　　51

4.4　x → ∞时的多项式型函数的极限　　56

4.5　x → -∞时的有理函数的极限　　59

4.6　包含绝对值的函数的极限　　61

第5章　连续性和可导性　　63

5.1　连续性　　63

5.2　可导性　　71

第6章　求解微分问题　　84

6.1　使用定义求导　　84

6.2　用更好的办法求导　　87

6.3　求切线方程　　98

6.4　速度和加速度　　99

6.5　导数伪装的极限　　101

6.6　分段函数的导数　　103

6.7　直接画出导函数的图像　　106

第7章　三角函数的极限和导数　　111

7.1　三角函数的极限　　111

7.2　三角函数的导数　　124

第8章　隐函数求导和相关变化率　　132

8.1　隐函数求导　　132

8.2　相关变化率　　138

第9章　指数函数和对数函数　　148

9.1　基础知识　　148

9.2　e 的定义　　153

9.3　对数函数和指数函数求导　　158

9.4　求解指数函数或对数函数的极限　　161

9.5　取对数求导法　　169

9.6　指数增长和指数衰变　　173

9.7　双曲函数　　178

第10章　反函数和反三角函数　　181

10.1　导数和反函数　　181

10.2　反三角函数　　187

10.3　反双曲函数　　199

第11章　导数和图像　　202

11.1　函数的极值　　202

11.2　罗尔定理　　206

11.3　中值定理　　209

11.4　二阶导数和图像　　212

11.5　对导数为零点的分类　　215

第12章　绘制函数图像　　219

12.1　建立符号表格　　219

12.2　绘制函数图像的全面方法　　224

12.3　例题　　225

第13章　最优化和线性化　　239

13.1　最优化　　239

13.2　线性化　　249

13.3　牛顿法　　258

第14章　洛必达法则及极限问题总结　　263

14.1　洛必达法则　　263

14.2　关于极限的总结　　273

第15章　积分　　276

15.1　求和符号　　276

15.2　位移和面积　　283

第16章　定积分　　293

16.1　基本思想　　293

16.2　定积分的定义　　297

16.3　定积分的性质　　301

16.4　求面积　　305

16.5　估算积分　　313

16.6　积分的平均值和中值定理　　316

16.7　不可积的函数　　319

第17章　微积分基本定理　　321

17.1　用其他函数的积分来表示的函数　　321

17.2　微积分的第一基本定理　　324

17.3　微积分的第二基本定理　　328

17.4　不定积分　　329

17.5　怎样解决问题：微积分的第一基本定理　　331

17.6　怎样解决问题：微积分的第二基本定理　　336

17.7　技术要点　　344

17.8　微积分第一基本定理的证明　　345

第18章　积分的方法I　　347

18.1　换元法　　347

18.2　分部积分法　　356

18.3　部分分式　　361

第19章　积分的方法II 　　373

19.1　应用三角恒等式的积分　　373

19.2　关于三角函数的幂的积分　　376

19.3　关于三角换元法的积分　　384

19.4　积分技巧总结　　391

第20章　反常积分：基本概念　　393

20.1　收敛和发散　　393

20.2　关于无穷区间上的积分　　398

20.3　比较判别法(理论)　　400

20.4　极限比较判别法(理论)　　402

20.5　p 判别法(理论) 　　405

20.6　绝对收敛判别法　　407

第21章　反常积分：如何解题　　410

21.1　如何开始　　410

21.2　积分判别法总结　　413

21.3　常见函数在∞和-∞附近的表现　　414

21.4　常见函数在0附近的表现　　426

21.5　如何应对不在0或1处的瑕点　　432

第22章　数列和级数：基本概念　　434

22.1　数列的收敛和发散　　434

22.2　级数的收敛与发散　　438

22.3　第n项判别法(理论) 　　442

22.4　无穷级数和反常积分的性质　　443

22.5　级数的新判别法　　447

第23章　求解级数问题　　455

23.1　求几何级数的值　　455

23.2　应用第n项判别法　　457

23.3　应用比式判别法　　457

23.4　应用根式判别法　　461

23.5　应用积分判别法　　462

23.6　应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法　463

23.7　应对含负项的级数　　468

第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　472

24.1　近似值和泰勒多项式　　472

24.2　幂级数和泰勒级数　　478

24.3　一个有用的极限　　485

第25章　求解估算问题　　487

25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　　487

25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　　488

25.3　用误差项估算问题　　491

25.4　误差估算的另一种方法　　499

第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题　　502

26.1　幂级数的收敛性　　502

26.2　合成新的泰勒级数　　508

26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　　517

26.4　利用麦克劳林级数求极限　　519

第27章　参数方程和极坐标　　523

27.1　参数方程　　523

27.2　极坐标　　528

第28章　复数　　538

28.1　基础　　538

28.2　复平面　　541

28.3　复数的高次幂　　544

28.4　解zn = w 　　545

28.5　解ez = w 　　550

28.6　一些三角级数　　552

28.7　欧拉恒等式和幂级数　　554

第29章　体积、弧长和表面积　　556

29.1　旋转体的体积　　556

29.2　一般立体体积　　567

29.3　弧长　　571

29.4　旋转体的表面积　　574

第30章　微分方程　　578

30.1　微分方程导论　　578

30.2　可分离变量的一阶微分方程　　579

30.3　一阶线性方程　　581

30.4　常系数微分方程　　585

30.5　微分方程建模　　595

附录A　极限及其证明　　598

A.1　极限的正式定义　　598

A.2　由原极限产生新极限　　602

A.3　极限的其他情形　　606

A.4　连续与极限　　611

A.5　再谈指数函数和对数函数　　616

A.6　微分与极限　　618

A.7　泰勒近似定理的证明　　627

附录B　估算积分　　629

B.1　使用条纹估算积分　　629

B.2　梯形法则　　632

B.3　辛普森法则　　634

B.4　近似的误差　　636

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