修订版【高阶导数】- 微积分的本质 09_02

来自3Blue1Brown《微积分的本质》视频:https://space.bilibili.com/88461692

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[遇见数学]根据视频内容整理文字版, 方便各位同学学习, 先来看下视频吧.

正文这次我们来看看二阶导数, 设函数为 f(x) , 那么导数可以理解为 x 点处所对应的图像的斜率. 图像很陡对应导数的值很大, 向下倾斜说明导数是负的.

而二阶导数是导数的导数，它表示斜率的变化情况. 最直观的方法就是观察 f(x) 曲线的弯曲方向, 让它向上弯曲, 斜率在增加, 这时二阶导数就是真的.

当它向下弯曲斜率再减少, 二阶导数就是负的

比如这个函数在 x=4 时，它的二阶导数是一个很大的正值, 因为此时函数的斜率在快速增加. 而这个函数, 在 x=4 的时候, 他的二阶导数依然为正，但相对刚才 a=5 时就小了, 因为它的斜率增加的很慢. 在图像没有弯曲的地方，二阶导数就是 0.

这符号它倒是可以被写成这样:

表示想求导数的微小变化除以 x 的微小变化, 这表示要让这里的两个 dx 都趋近于 0. 嗯，或者是按标准写法把它缩写成:

考虑怎样理解二阶导数符号的解读, 考虑函数在 x 处, 然后向右连续增加两个小的增量 dx. 这个重量使得函数增加了，第一个变化量我们把它叫做 ${\text{df}}_1$, 第二个增量同理，但造成的变化量会些许不同，我们把它叫做${\text{df}}_2$

这两个变化量之间的差, 也就是函数变化量的变化量就叫做 d(df).

你应该把 d(df) 当做一个非常微小的数，它和 ${\text{dx}}^2$ 成正比. 所以如果你带入 dx=0.01 的话, 那么 d(df) 就应该大约和 0.0001 成正比.

二阶导数就是变化量的变化量比上 ${\text{dx}}^2$ , 更准确的说是 dx 趋近于 0 的时候，这个比值的极限.

尽管 d 并不是一个能和 f 直接相乘的变量, 但是为了使记号更简单, 写成下面的形式:

实际问题中的加速度是帮助你理解二阶导数的最佳例子, 假设物体沿直线运动，并且你有一个它的距离-时间函数, 或许它的图像看起来就是像下面这样，随着时间的持续的增加.

它的导数就是每一时间点的速度, 其实导数的图像就像是个小山包, 先增加到一个最大值，然后减小到 0.

所以二阶导数能告诉你在某个时间点上速度的变化率，这就是加速度.

在这个例子中，前半段路程二阶导数是正的，说明车在加速. 后半段二阶导数是负的，说明的速度在减慢.

三阶导数就叫做急动度(Jerk), 如果急动度不为 0，那么说明加速度本身在变化.

高阶导数最大的作用就是帮助我们得到函数的近似, 这就是我们下集要讨论的泰勒级数.

「予人玫瑰, 手留余香」

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