还记得被证明题支配的恐怖吗？

2018 年 6 月 13 日 科研圈

作者：Marianne Freiberger

翻译：Nothing

审校：yangfz

来源：中科院物理所

证明就是用逻辑的方法得出一个毫无争议的正确的结论。你有没有想过为什么数学家们如此疯狂的推崇证明？

~ 推理的两种方式 ~

在日常生活中，当我们的行为并不完全不合理的时候，我们经常使用两种类型的推理方法。一种叫归纳法，它指的是从我们日常所见总结出普遍规律。例如，如果你见过的绵羊都是白色的，你也许会得出绵羊都是白色的结论。这种方式的推理非常有用，科学家就是利用这种方式根据他们的观测结果来构建他们的理论，但是这种方式不是万无一失的。因为你不能保证看遍了宇宙中的所有绵羊。你也不能完全确定世界上的某个角落没有藏着一只黑色的绵羊。所以你不能保证你做出的推论一定是正确的。如果你使用归纳法，那你就必须在发现新的证据后随时修改你的推论，这正是科学家经常做的事。

另一种推理方式叫做演绎法。这种方法建立在一个普遍正确的定理上，然后你可以根据特定的条件得出结论。例如，如果你知道所有的绵羊都喜欢吃草，而且你知道站在你面前的物体就是绵羊，那么你可以知道它一定喜欢吃草。这种推理是非常严密的。只有在你的前提出错时它才可能出错，上面的例子里就是说所有绵羊都吃草的说法是错的，或者你面前站着的不是绵羊。但是如果这两件事都是对的，那你的推论就一定是对的，无论在什么地方，什么时间。

数学可以证明关于绵羊的什么？

~ 公理 ~

数学中满是证明，例如勾股定理，它在任何时间任何地点都是正确的。这就是为什么数学依赖于演绎推理。一个数学的证明是从一个一直正确的论述推理得出另外一个结论。例如，如果你知道了三角形中两个内角的大小，那么通过平面中三角形内角和为180度的定理可以推出第三个角的大小。

早在古希腊时期，人们已经认识到演绎推理在数学中的重要性。亚历山大的欧几里得，几何学之父，提出一组公理，他认为这些公理是不证自明的。包括三角形内角和是180度。所有其他的几何定理，包括勾股定理，都应该从这些公理中通过演绎推理得出。欧几里得著名的数学著作《几何原本》就是这样写成的。这是历史上最成功的书之一——有人说它的版本比圣经还要多。

一个有漏洞的推理

当然，你仍然需要非常小心的使用演绎推理，因为推理错误会时不时出现。为了保证你的结论是正确的，你需要保证你的假设是正确的并且保证可以正确的使用它们。例如，上面的证明仅仅利用了如何操控公式的假设，但是它的结论是1=2，你能指出其中的错误吗？

~ 我们需要证明吗？~

为什么数学家坚持证明每一件事？在日常生活中，我们不可能像数学家一样严谨。如果一件凶杀案的证据指向特定的犯罪嫌疑人，我们乐意去证明他们有罪并说他们的罪过已经被证实。但是，我们并不能完全确定他是有罪的。就像任何一个无辜的罪犯告诉你的那样，他们总有那么一丝可能性是没有犯罪的。

数学或许是唯一可以实现完全证明的领域，这也是为什么数学家如此热衷于证明。当然，如果我们不去坚持证明，错误有可能混入那些不易察觉的领域。一个著名的例子就是上面我们提到的三角形。欧几里得的公理之一是说三角形内角和是180度——他认为这是如此的显然，我们只需要去接受它就可以了。但是，之后的数学家认为他们可以做到更好。他们认为自己可以从欧几里得的其他公理中导出了这个公理。在这条路上，我们不是相信它而是证明了它（假设其他的公理都是对的）。

数学家们和这个证明斗争了几百年。在19世纪它甚至成为数学家心中的困惑，因此数学家Farkas Bolyai警告自己的儿子János离它远点。

M.C. Escher的Circle limit IV演示了一个双曲平面的模型.
All M.C. Escher works © 2002Cordon Art - Baarn - Holland (www.mcescher.com).

但是János Bolyai不听父亲的劝阻坚持证明下去但并没有证明出三角形内角和是180度。因为这个结论并不总是正确的。它仅在你把三角形画在平面上时成立。如果你把三角形画在一个球体上，或者橘子上，三角形内角和将大于180度。证明三角形内角和的尝试促使数学家偶然发现另外一个非常奇怪的面，叫做双曲面，在这种平面上，三角形内角和小于180度。

双曲面很难可视化，但是它和甘蓝叶很像，越靠近边缘越皱。虽然我们平时不会遇到这样的曲面，但是它非常重要。爱因斯坦的狭义相对论就是靠双曲几何学建立起来的。在狭义相对论之外建立起来的广义相对论，没有它就没有现代的卫星导航设备和GPS。

~ 证明一定要由人来完成吗？~

数学家经常为他们的工作只需要大脑、铅笔和纸而感到骄傲。但是近几十年情况有所改变：计算机开始进入数学领域并且引起很多的争论。这些争论并不包括使用计算机计算一些奇怪的积分。数学家利用这些工具使他们的生活更加简单一点，就像其他人做的那样。真正引起争论的是依赖于计算机的证明。

计算机可以有两种可能的方式来实现。在计算机辅助计算中，计算机被用来实现靠一个人不可能在有限时间内完成的超多步数的操作。证明的逻辑仍然是人提出的，但是如果没有一个人检查计算机的运算过程，那么你无法完全确定这样的证明中有没有包含错误，所以一些人认为这样的证明是无效的。

近些年，计算机学家发明出了自动化的定理证明器（ATPs）——计算机程序可以利用一些基本假设和逻辑规则得出一些结果，因此也是证明了它。截至目前，ATPs仍然需要大量人的辅助，但是可以想到它在将来会变得更加强大。它们是否可以代替人类仍然有待观察，因此它也是被争论的最多的一个话题。

~ 数学的极限 ~

数学是否真的可以做到每一个定理都可以被毫无争议的证实或证伪？不幸的是并不能完全做到。二十世纪早期，人们努力地将所有的数学建立在坚实的基础之上，以保证每一个正确的定理可以从几个基本公理中导出。这并不是一项简单的工作。罗素和Whitehead的一个著名的尝试使得数学变得异常艰难：证明1+1=2，利用他们选择的几个公理并花费了好几百页纸去完成证明。但他们的证明系统依然包含漏洞。他们无法实现没有包含任何矛盾的证明。

Kurt Gödel

几年之后，一个叫哥德尔的奥地利年轻数学家对他们的梦想实施了致命打击。假设你已经选择了一组可以成为数学的基础的公理。如果这组公理不能支持你定义自然数和它们之间的算术，那么这就不是一组好的公理。现在我们假设你选择的定理足够好。让我们再假设你利用你的公理构建起整个数学体系，你一个接一个的证明定理，并且没有遭遇矛盾：利用你的公理建立起的体系不包含矛盾。哥德尔证明的是在你建立起的体系中总有一些定理你无法证明它是对的也无法证明它是错的：总有不可判定的定理存在。

这是一个非常惊人的结果：这意味着无论你选择什么样的公理，你建立起的数学体系总是不完备的。这就是为什么哥德尔的成果被称为不完备定理。数学家已经构造出用已被接受的公理无法验证的定理。

尽管不幸，哥德尔的结论并不能成为你不相信你的税单而撕掉它的理由。人们日常生活中用到的数学，那些用来计算税费或者建造机场费用到的数学是无可争辩的。数学家目前发现的不可判定的定理还没有进入这些领域。如果哪一天这种定理干扰到了我们的技术和计算，数学家就要回到科学家使用的方法中去：根据他们对发生在他们周围的事物的观察判断什么是对什么是错。

原文链接：

https://plus.maths.org/content/brief-introduction-proofs

本文转载自公众号“中科院物理所”（ID:cas-iop）

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