漫画：有趣的 “切蛋糕“ 问题

—————  第二天  —————

举个例子：

我们有5块蛋糕，蛋糕的大小分别是 5，17，25，3，15 

我们有7位顾客，他们的饭量分别是 2，5，7，9，12，14，20

（每个蛋糕大小和顾客食量都是小于1000的整数，蛋糕和顾客的数量不超过1000）

在分发蛋糕时，有一个特殊的规则：蛋糕可分不可合。

什么意思呢？

一块较大的蛋糕，可以切分成多个小块，用来满足多个胃口较小的顾客：

但是，若干块较小的蛋糕，不允许合并成一块大蛋糕，用来满足一个胃口较大的顾客：

最后的问题是：给定蛋糕大小的集合cakes，给定顾客饭量的集合mouths，如何计算出这些蛋糕可以满足的最大顾客数量？

比如：输入cakes集合 {2，9}；输入mouths集合 {5，4， 2，8}

正确返回：3

小灰的思路：

为了让更多的顾客吃饱，肯定要优先满足食量小的顾客，所以小灰决定使用贪心算法。

首先，把蛋糕和顾客从小到大进行排序：

按照上面的例子，排序结果如下：

接下来，让每一个蛋糕和顾客按照从左到右的顺序匹配。如果蛋糕大于顾客饭量，则切分蛋糕；如果蛋糕小于顾客饭量，则丢弃该蛋糕。

第1块蛋糕大小是3，第1个顾客饭量是2，于是把蛋糕切分成2+1，满足顾客。剩下的1大小蛋糕无法满足下一位顾客，丢弃掉。

第2块蛋糕大小是5，第2个顾客饭量是5，刚好满足顾客。

第3块蛋糕大小是15，第3个顾客饭量是7，于是把蛋糕切分成7+8，满足顾客。剩下的8大小蛋糕无法满足下一位顾客，丢弃掉。

第4块蛋糕大小是17，第4个顾客饭量是9，于是把蛋糕切分成9+8，满足顾客。剩下的8大小蛋糕无法满足下一位顾客，丢弃掉。

第5块蛋糕大小是25，第5个顾客饭量是12，于是把蛋糕切分成12+13，满足顾客。剩下的13大小蛋糕无法满足下一位顾客，丢弃掉。

这样一来，所有蛋糕都用完了，由贪心算法得出结论，最大能满足的顾客数量是5。

例子当中，

3的蛋糕满足2的顾客，

5的蛋糕满足5的顾客，

15的蛋糕满足12的顾客，

17的蛋糕满足7和9的顾客，

25的蛋糕满足14的顾客。

显然，面试官随意给出的吃法，满足了6个顾客。

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这句话听起来有点绕，什么意思呢？我们可以看看下面这张图：

其实道理很简单，由于顾客的饭量是从小到大排序的，优先满足饭量小的顾客，才能尽量满足更多的人。

因此，在记录顾客饭量的数组中，必定存在一段从最左侧开始的连续元素，符合当前蛋糕所能满足的最多顾客组合。

这样一来，我们的题目就从寻找最大满足顾客数量，转化成了寻找顾客饭量有序数组中的最大满足临界点：

让我们先来回顾一下二分查找的思路：

1.选择中间元素，下标mid = （0 + 6）/2 = 3  ，因此中间元素是9：

2.判断9>5，选择元素9左侧部分的中间元素，下标mid = （0+2）/2 = 1，因此中间元素是5：

3.判断5=5，查找结束。

但是，切蛋糕的问题比普通的二分查找要复杂得多，因为我们要寻找的顾客饭量数组临界元素，并不是简单地判断元素是否相等，而是要验证给定的蛋糕能否满足临界元素之前的所有顾客。

如何来实现呢？我们仍旧使用刚才的例子，演示一下详细过程：

第一步，寻找顾客数组的中间元素。

在这里，中间元素是9：

第二步，验证饭量从2到9的顾客能否满足。

子步骤1，遍历蛋糕数组，寻找大于9的蛋糕，最终寻找到元素15。

子步骤2，饭量9的顾客吃掉15的蛋糕，还剩6大小。

子步骤3，重新遍历蛋糕数组，寻找大于7的蛋糕，最终寻找到元素17。

子步骤4，饭量7的顾客吃掉17的蛋糕，还剩10大小。

子步骤5，重新遍历蛋糕数组，寻找大于5的蛋糕，最终寻找到元素5。

子步骤6，饭量5的顾客吃掉5的蛋糕，还剩0大小。

子步骤7，重新遍历蛋糕数组，寻找大于2的蛋糕，最终寻找到元素3。

子步骤8，饭量2的顾客吃掉3的蛋糕，还剩1大小。

到此为止，从2到9的所有顾客都被满足了，验证成功。

接下来，我们需要引入更多顾客，从而试探出蛋糕满足的顾客上限。

第三步，重新寻找顾客数组的中间元素。

由于第二步验证成功，所以我们要在元素9右侧的区域，重新寻找中间元素。显然，这个中间元素是14：

第四步，验证饭量从2到14的顾客能否满足。

这一步和第二步的思路是相同的，这里就不详细阐述了。最终的验证结果是，从2到14的顾客能够满足。

接下来，我们还要引入更多顾客，试探出蛋糕满足的顾客上限。

第五步，重新寻找顾客数组的中间元素。

由于第四步验证成功，所以我们要在元素14右侧的区域，重新寻找中间元素。显然，这个中间元素也就是唯一的元素20：

第六步，验证饭量从2到20的顾客能否满足。

这一步和第二步、第四步的思路是相同的，这里就不详细阐述了。最终的验证结果是，从2到20的顾客不能够满足。

经过以上步骤，我们找到了最大满足顾客的临界点14，从2到14共有6个顾客，所以给定蛋糕最大能满足的顾客数量是6。

//剩余蛋糕数量


static int leftCakes[];


//蛋糕总量（不是数量，而是大小之和）


static int totalCake = 0;


//浪费蛋糕量


static int lostCake = 0;



static boolean canFeed(int[] mouths, int monthIndex, int sum)


{


    if(monthIndex<=0) {


        //递归边界


        return true;


    }


    //如果 蛋糕总量-浪费蛋糕量 小于当前的需求量，直接返回false，即无法满足


    if(totalCake - lostCake < sum) {


        return false;


    }


    //从小到大遍历蛋糕


    for(int i=0;i<leftCakes.length; i++) {


        if (leftCakes[i] >= mouths[monthIndex]) {


            //找到并吃掉匹配的蛋糕


            leftCakes[i] -= mouths[monthIndex];


            //剩余蛋糕小于最小的需求，变为浪费蛋糕


            if (leftCakes[i] < mouths[1]){


                lostCake += leftCakes[i];


            }


            //继续递归，试图满足mid下标之前的需求


            if (canFeed(mouths, monthIndex-1, sum)) {


                return true;


            }


            //无法满足需求，蛋糕状态回滚


            if (leftCakes[i] < mouths[1]) {


                lostCake -= leftCakes[i];


            }


            leftCakes[i] += mouths[monthIndex];


        }


    }


    return false;


}



public static int findMaxFeed(int[] cakes, int[] mouths){


    //蛋糕升序排列，并把0下标空出


    int[] cakesTemp = Arrays.copyOf(cakes, cakes.length+1);


    Arrays.sort(cakesTemp);


    for(int cake: cakesTemp){


        totalCake += cake;


    }


    //顾客胃口升序排列，并把0下标空出


    int[] mouthsTemp = Arrays.copyOf(mouths, mouths.length+1);


    Arrays.sort(mouthsTemp);


    leftCakes = new int[cakes.length+1];


    //需求之和（下标0的元素是0个人的需求之和，下标1的元素是第1个人的需求之和，下标2的元素是第1,2个人的需求之和.....）


    int[] sum = new int[mouths.length+1];


    for(int i=1;i<=mouths.length;i++) {


        sum[i] = sum[i - 1] + mouthsTemp[i];


    }


    //left和right用于计算二分查找的“中点”


    int left=1,right=mouths.length;


    //如果胃口总量大于蛋糕总量，right指针左移


    while(sum[right]> totalCake){


        right--;


    }


    //中位指针，用于做二分查找


    int mid=((left+right)>>1);


    while(left<=right)


    {


        //重置剩余蛋糕数组


        leftCakes = Arrays.copyOf(cakesTemp, cakesTemp.length);


        //重置浪费蛋糕量


        lostCake =0;


        //递归寻找满足需求的临界点


        if(canFeed(mouthsTemp, mid, sum[mid])){


            left=mid+1;


        } else {


            right = mid - 1;


        }


        mid=((left+right)>>1);


    }


    //最终找到的是刚好满足的临界点


    return mid;


}



public static void main(String[] args) {


    int[] cakes = new int[]{3,5,15,17,25};


    int[] mouths = new int[]{2,5,7,9,12,14,20};



    int maxFeed = findMaxFeed(cakes, mouths);


    System.out.println("最大满足顾客数：" + maxFeed);


}

这段代码比较复杂，需要说明几点：

1.主流程方法findMaxFeed，执行各种初始化，控制二分查找流程。

2.方法canFeed，用于检验某一位置之前的顾客是否能被给定蛋糕满足。

3.数组leftCakes，用于临时存储剩余的蛋糕大小，每次重新设置中间下标时，这个数组需要被重置。

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第二章 数据结构基础

介绍了最基本的数据结构，包括数组、链表、栈、队列、哈希表的概念和读写操作。

第三章 树

介绍了树和二叉树的概念、二叉树的各种遍历方式、二叉堆和优先队列的应用。

第四章 排序算法

介绍了几种典型的排序算法，包括冒泡排序、快速排序、堆排序、计数排序、桶排序。

第五章 面试中的算法

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