【博士论文】高质量的网格: 演化的内在三角剖分

**本论文提出了用于在随时间变化的曲面上进行稳健计算的算法和数据结构。在科学和几何计算中，曲面通常被建模为三角网格。然而，找到高质量的网格仍然是一个挑战，因为网格扮演着两个截然不同且常常相互冲突的角色：既定义曲面几何形状，又定义该曲面上的函数空间。****解决这一难题的一种方法是使用内在三角剖分来解耦这两个问题。其核心思想是，给定一个代表输入曲面的三角网格，可以找到许多替代的三角剖分，它们编码相同的内在几何信息，但提供不同的函数空间。这项技术使得找到高质量的内在三角网格变得更加容易，从而避开了传统网格构造中的折衷问题。然而，内在三角剖分正是因为能够精确地保持输入几何形状——这一技术的核心优势——也使得其在应用于随时间变化的曲面时变得具有挑战性。**在本论文中，我们放宽了对精确几何保持的假设，允许内在视角应用于时间演变的曲面。我们以网格简化和曲面参数化问题为例。在网格简化问题中，我们提供了一种通用的数据结构，用于内在三角剖分，这些剖分仅共享输入曲面的拓扑类别，但可能具有不同的几何形状。在曲面参数化问题中，我们为几何形状以共形方式变化的特殊情况构建了更高效的数据结构和算法，利用了离散共形映射与超几何学之间的联系。在这两种情况下，我们发现内在视角导致了简单的算法，这些算法在各种示例上仍然稳健且高效。