We prove new bounds on the distributed fractional coloring problem in the LOCAL model. Fractional $c$-colorings can be understood as multicolorings as follows. For some natural numbers $p$ and $q$ such that $p/q\leq c$, each node $v$ is assigned a set of at least $q$ colors from $\{1,\dots,p\}$ such that adjacent nodes are assigned disjoint sets of colors. The minimum $c$ for which a fractional $c$-coloring of a graph $G$ exists is called the fractional chromatic number $\chi_f(G)$ of $G$. Recently, [Bousquet, Esperet, and Pirot; SIROCCO '21] showed that for any constant $\epsilon>0$, a fractional $(\Delta+\epsilon)$-coloring can be computed in $\Delta^{O(\Delta)} + O(\Delta\cdot\log^* n)$ rounds. We show that such a coloring can be computed in only $O(\log^2 \Delta)$ rounds, without any dependency on $n$. We further show that in $O\big(\frac{\log n}{\epsilon}\big)$ rounds, it is possible to compute a fractional $(1+\epsilon)\chi_f(G)$-coloring, even if the fractional chromatic number $\chi_f(G)$ is not known. That is, this problem can be approximated arbitrarily well by an efficient algorithm in the LOCAL model. For the standard coloring problem, it is only known that an $O\big(\frac{\log n}{\log\log n}\big)$-approximation can be computed in polylogarithmic time in the LOCAL model. We also show that our distributed fractional coloring approximation algorithm is best possible. We show that in trees, which have fractional chromatic number $2$, computing a fractional $(2+\epsilon)$-coloring requires at least $\Omega\big(\frac{\log n}{\epsilon}\big)$ rounds. We finally study fractional colorings of regular grids. In [Bousquet, Esperet, and Pirot; SIROCCO '21], it is shown that in regular grids of bounded dimension, a fractional $(2+\epsilon)$-coloring can be computed in time $O(\log^* n)$. We show that such a coloring can even be computed in $O(1)$ rounds in the LOCAL model.


翻译:在 LOCAL 模式中, 我们证明在分布式正分色问题上有新的界限。 以美元计色的最小值, 以美元计色可以被理解为以下的多色。 对于某些自然数字, 美元和美元, 等于美元/ q\ leq c$, 每一个节点美元被分配到一套至少以美元为单位的颜色, $1,\ dots, 等于相邻节节点被分配不相交的颜色。 以美元计价的最小值$( 美元), 以美元计价的最小值 $G$; 对于某些自然数字, 美元/ 美元和美元, 每个节点美元 美元, 以美元计价的平价 。 以美元计价的方式, 以美元计价的平价數值來計價。 以美元表示, 任何數值的數值數值, 以美元為我們數的數值, 以美元數值為代數數, 以我們在數數數中, 以美元數數為代數的數數, 。

0
下载
关闭预览

相关内容

专知会员服务
21+阅读 · 2021年9月23日
专知会员服务
41+阅读 · 2021年4月2日
Python分布式计算,171页pdf,Distributed Computing with Python
专知会员服务
107+阅读 · 2020年5月3日
【SIGGRAPH2019】TensorFlow 2.0深度学习计算机图形学应用
专知会员服务
39+阅读 · 2019年10月9日
【TED】什么让我们生病
英语演讲视频每日一推
7+阅读 · 2019年1月23日
无监督元学习表示学习
CreateAMind
27+阅读 · 2019年1月4日
Disentangled的假设的探讨
CreateAMind
9+阅读 · 2018年12月10日
保序最优传输:Order-preserving Optimal Transport
我爱读PAMI
6+阅读 · 2018年9月16日
视觉机械臂 visual-pushing-grasping
CreateAMind
3+阅读 · 2018年5月25日
【LeetCode 136】 关关的刷题日记32 Single Number
【LeetCode 500】关关的刷题日记27 Keyboard Row
专知
3+阅读 · 2017年11月5日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Arxiv
0+阅读 · 2022年2月13日
Improved Compression of the Okamura-Seymour Metric
Arxiv
0+阅读 · 2022年2月10日
Arxiv
0+阅读 · 2022年2月10日
Arxiv
3+阅读 · 2017年12月1日
VIP会员
相关资讯
【TED】什么让我们生病
英语演讲视频每日一推
7+阅读 · 2019年1月23日
无监督元学习表示学习
CreateAMind
27+阅读 · 2019年1月4日
Disentangled的假设的探讨
CreateAMind
9+阅读 · 2018年12月10日
保序最优传输:Order-preserving Optimal Transport
我爱读PAMI
6+阅读 · 2018年9月16日
视觉机械臂 visual-pushing-grasping
CreateAMind
3+阅读 · 2018年5月25日
【LeetCode 136】 关关的刷题日记32 Single Number
【LeetCode 500】关关的刷题日记27 Keyboard Row
专知
3+阅读 · 2017年11月5日
Auto-Encoding GAN
CreateAMind
7+阅读 · 2017年8月4日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员