A Boolean constraint satisfaction problem (CSP), Max-CSP$(f)$, is a maximization problem specified by a constraint $f:\{-1,1\}^k\to\{0,1\}$. An instance of the problem consists of $m$ constraint applications on $n$ Boolean variables, where each constraint application applies the constraint to $k$ literals chosen from the $n$ variables and their negations. The goal is to compute the maximum number of constraints that can be satisfied by a Boolean assignment to the $n$~variables. In the $(\gamma,\beta)$-approximation version of the problem for parameters $\gamma \geq \beta \in [0,1]$, the goal is to distinguish instances where at least $\gamma$ fraction of the constraints can be satisfied from instances where at most $\beta$ fraction of the constraints can be satisfied. In this work we consider the approximability of Max-CSP$(f)$ in the (dynamic) streaming setting, where constraints are inserted (and may also be deleted in the dynamic setting) one at a time. We completely characterize the approximability of all Boolean CSPs in the dynamic streaming setting. Specifically, given $f$, $\gamma$ and $\beta$ we show that either (1) the $(\gamma,\beta)$-approximation version of Max-CSP$(f)$ has a probabilistic dynamic streaming algorithm using $O(\log n)$ space, or (2) for every $\varepsilon > 0$ the $(\gamma-\varepsilon,\beta+\varepsilon)$-approximation version of Max-CSP$(f)$ requires $\Omega(\sqrt{n})$ space for probabilistic dynamic streaming algorithms. We also extend previously known results in the insertion-only setting to a wide variety of cases, and in particular the case of $k=2$ where we get a dichotomy and the case when the satisfying assignments of $f$ support a distribution on $\{-1,1\}^k$ with uniform marginals.


翻译:(cSP) 限制满意度问题 : Max- CSP$ (f) 是一个最大化问题 。 在 $( gamma,\ beta) 的制约 : 1, 1美元, 0, 1美元 美元, 1美元 。 问题的例子包括美元 Boolean 变量的美元限制应用, 每个限制应用对从 美元变量及其否定中选择的 $ 美元 。 目标是计算用 bole 指派给 $ 来满足的最大限制数量 。 在此工作中, 我们考虑 Max- CSP 的适应性, 美元 美元 。 在 美元 美元 的 美元 : 美元, 美元 美元 美元, 美元 美元 的 。 目标是要区分这样的情况, 在 美元 美元 的 中, 将至少 =gammamamam 的制约部分 。 。 在 $ 美元 节数 中, 将 Max- 美元 的 和 美元 以 美元 美元 的 流流流流中, 的 显示我们 的动态 的 的 。

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