We propose a unifying framework for the matrix-based formulation and analysis of discontinuous Galerkin (DG) and flux reconstruction (FR) methods for conservation laws on general unstructured grids. Within such an algebraic framework, the multidimensional summation-by-parts (SBP) property is used to establish the discrete equivalence of strong and weak formulations, as well as the conservation and energy stability properties of a broad class of DG and FR schemes. Specifically, the analysis enables the extension of the equivalence between the strong and weak forms of the discontinuous Galerkin collocation spectral-element method demonstrated by Kopriva and Gassner (J Sci Comput 44:136-155, 2010) to more general nodal and modal DG formulations, as well as to the Vincent-Castonguay-Jameson-Huynh (VCJH) family of FR methods. Moreover, new algebraic proofs of conservation and energy stability for DG and VCJH schemes with respect to suitable quadrature rules and discrete norms are presented, in which the SBP property serves as a unifying mechanism for establishing such results. Numerical experiments are provided for the two-dimensional linear advection and Euler equations, highlighting the design choices afforded for methods within the proposed framework and corroborating the theoretical analysis.
翻译：我们提出一个统一框架,用于以矩阵为基础制定和分析不连续的Galerkin(DG)和通量重建(FR)方法,用以制定和分析关于一般非结构电网的养护法,在这种代数框架内,采用按部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、部、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
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