This paper presents a new approach for solving the close evaluation problem in three dimensions, commonly encountered while solving linear elliptic partial differential equations via potential theory. The goal is to evaluate layer potentials close to the boundary over which they are defined. The approach introduced here converts these nearly-singular integrals on a patch of the boundary to a set of non-singular line integrals on the patch boundary using the Stokes theorem on manifolds. A function approximation scheme based on harmonic polynomials is designed to express the integrand in a form that is suitable for applying the Stokes theorem. As long as the data -- the boundary and the density function -- is given in a high-order format, the double-layer potential and its derivatives can be evaluated with high-order accuracy using this scheme both on and off the boundary. In particular, we present numerical results demonstrating seventh-order convergence on a smooth, warped torus example achieving 10-digit accuracy in evaluating double layer potential at targets that are arbitrarily close to the boundary.


翻译:本文介绍了在通过潜在理论解决线性椭圆部分差异方程时通常遇到的解决近距离评价问题的三个方面的新办法。 目标是评估接近其定义边界的层层潜力。 此处采用的方法是使用Stokes 定理仪将一块边界上的这些近似星系内分质转换成一组非星系内分质内分质。 基于调和多元体的功能近似方案旨在以适合应用斯托克斯定理的形态表达整数。 只要数据 -- -- 边界和密度函数 -- -- 以高顺序格式提供,两层潜力及其衍生物就可以在边界上和边界外使用这一办法以高顺序精确度评价。 特别是,我们提出了数字结果,表明一个平稳、 扭曲的矩形示例,在评价任意靠近边界的目标的双重层潜力时达到10位的精确度。

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