Persistent homology has been recently studied with the tools of sheaf theory in the derived setting by Kashiwara and Schapira, after J. Curry has made the first link between persistent homology and sheaves. We prove the isometry theorem in this derived setting, thus expressing the convolution distance of sheaves as a matching distance between combinatorial objects associated to them that we call graded barcodes. This allows to consider sheaf-theoretical constructions as combinatorial, stable topological descriptors of data, and generalizes the situation of persistence with one parameter. To achieve so, we explicitly compute all morphisms in $D^b_{\mathbb{R} c}(\textbf{k}_\mathbb{R})$, which enables us to compute distances between indecomposable objects. Then we adapt Bjerkevik's stability proof to this derived setting. As a byproduct of our isometry theorem, we prove that the convolution distance is closed, give a precise description of connected components of $D^b_{\mathbb{R} c}(\textbf{k}_\mathbb{R})$and provide some explicit examples of computation of the convolution distance.


翻译:在Kashifwara和Schapira的衍生环境中,在J. Curry首次将持久性同系物和剪切物联系起来之后,最近用Sheaf理论工具对Cashiwara和Schapira进行了持久性同系物学的研究。我们证明在这一衍生环境中,沙发的等量定理原理,从而表达沙发的相容距离,作为我们称之为分级条码的组合对象之间的相匹配距离。这样就可以将沙发理论构造视为数据组合、稳定的表层描述器,并概括一个参数的持久性状况。为了实现这一点,我们明确地用$D ⁇ mathb{R} c}(textb{k{mathb{R}) 来计算所有形态,从而使我们能够将无法比较的物体之间的距离进行比较。然后,我们将Bjerkevik的稳定性证明用于该衍生的设置。作为我们测算数据的副产物,我们证明变异距离已经关闭了。为了达到这个参数,我们明确以$D\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

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