We study several variants of the problem of moving a convex polytope $K$, with $n$ edges, in three dimensions through a flat rectangular (and sometimes more general) window. Specifically: $\bullet$ We study variants where the motion is restricted to translations only, discuss situations where such a motion can be reduced to sliding (translation in a fixed direction), and present efficient algorithms for those variants, which run in time close to $O(n^{8/3})$. $\bullet$ We consider the case of a `gate' (an unbounded window with two parallel infinite edges), and show that $K$ can pass through such a window, by any collision-free rigid motion, if and only if it can slide through it. $\bullet$ We consider arbitrary compact convex windows, and show that if $K$ can pass through such a window $W$ (by any motion) then $K$ can slide through a gate of width equal to the diameter of $W$. $\bullet$ We study the case of a circular window $W$, and show that, for the regular tetrahedron $K$ of edge length $1$, there are two thresholds $1 > \delta_1\approx 0.901388 > \delta_2\approx 0.895611$, such that (a) $K$ can slide through $W$ if the diameter $d$ of $W$ is $\ge 1$, (b) $K$ cannot slide through $W$ but can pass through it by a purely translational motion when $\delta_1\le d < 1$, (c) $K$ cannot pass through $W$ by a purely translational motion but can do it when rotations are allowed when $\delta_2 \le d < \delta_1$, and (d) $K$ cannot pass through $W$ at all when $d < \delta_2$. $\bullet$ Finally, we explore the general setup, where we want to plan a general motion (with all six degrees of freedom) for $K$ through a rectangular window $W$, and present an efficient algorithm for this problem, with running time close to $O(n^4)$.


翻译:我们研究多种不同的问题, 即通过一个平坦的矩形( 有时更普通的) 窗口, 在三个维维度上移动一个硬盘2K美元( 美元) 。 具体地说: $\ bulllet$, 我们研究运动仅限于翻译的变方, 我们讨论这种运动可以降低到滑动( 以固定方向翻译) 的情况, 为这些变方提供高效的算法, 时间接近O( 美元 8/ 3}) 。 $\ bull$( 美元), 我们考虑一个“ 开关( 美元) $( 美元), 美元) 4美元( 美元), 美元( 美元) 美元( 美元), 美元( 美元), 美元( 美元 美元), 美元( 美元) 美元), 美元( 美元) 美元( 美元) 。 当我们用一个圆形的窗口翻译 $ ( $ 美元 美元, 美元 美元) 不能通过一个正常的 。

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Microsoft Windows(视窗操作系统)是微软公司推出的一系列操作系统。它问世于1985年,当时是DOS之下的操作环境,而后其后续版本作逐渐发展成为个人电脑和服务器用户设计的操作系统。
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