We design $f$-edge fault-tolerant diameter oracles ($f$-FDOs). We preprocess a given graph $G$ on $n$ vertices and $m$ edges, and a positive integer $f$, to construct a data structure that, when queried with a set $F$ of $|F| \leq f$ edges, returns the diameter of $G-F$. For a single failure ($f=1$) in an unweighted directed graph of diameter $D$, there exists an approximate FDO by Henzinger et al. [ITCS 2017] with stretch $(1+\varepsilon)$, constant query time, space $O(m)$, and a combinatorial preprocessing time of $\widetilde{O}(mn + n^{1.5} \sqrt{Dm/\varepsilon})$.We present an FDO for directed graphs with the same stretch, query time, and space. It has a preprocessing time of $\widetilde{O}(mn + n^2/\varepsilon)$. The preprocessing time nearly matches a conditional lower bound for combinatorial algorithms, also by Henzinger et al. With fast matrix multiplication, we achieve a preprocessing time of $\widetilde{O}(n^{2.5794} + n^2/\varepsilon)$. We further prove an information-theoretic lower bound showing that any FDO with stretch better than $3/2$ requires $\Omega(m)$ bits of space. For multiple failures ($f>1$) in undirected graphs with non-negative edge weights, we give an $f$-FDO with stretch $(f+2)$, query time $O(f^2\log^2{n})$, $\widetilde{O}(fn)$ space, and preprocessing time $\widetilde{O}(fm)$. We complement this with a lower bound excluding any finite stretch in $o(fn)$ space. We show that for unweighted graphs with polylogarithmic diameter and up to $f = o(\log n/ \log\log n)$ failures, one can swap approximation for query time and space. We present an exact combinatorial $f$-FDO with preprocessing time $mn^{1+o(1)}$, query time $n^{o(1)}$, and space $n^{2+o(1)}$. When using fast matrix multiplication instead, the preprocessing time can be improved to $n^{\omega+o(1)}$, where $\omega < 2.373$ is the matrix multiplication exponent.


翻译:我们设计了 $fle- far 直径( f$) 。 我们预处理了一个特定图表 $G$ 美元 美元 ofice and $m 边缘 和正整数 美元, 以构建一个数据结构, 当用 $F\\\\\\\\\\\leq fe 边缘来询问时, 返回 $G- F$ 的直径直径( f=1 美元 ) 的直径直径( D$ ) 中, 有 Henchanger 和 Al. [ITS 2017] 大约 FDOG$ 美元 美元, 以 $ (1\\ vareflex) 美元, 恒定的预处理时间是 $@\\\\\ lequrequal_ flor_ flor_ flickr@ a rial_ flickral_ lax_ a time. we pre a lax lax a rical_ dal_ a time. we xem_ dal_ dal_ laxxxxl_ a laxxx a lax a laxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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