Differential equations arising in many practical applications are characterized by multiple time scales. Multirate time integration seeks to solve them efficiently by discretizing each scale with a different, appropriate time step, while ensuring the overall accuracy and stability of the numerical solution. In a seminal paper Knoth and Wolke (APNUM, 1998) proposed a hybrid solution approach: discretize the slow component with an explicit Runge-Kutta method, and advance the fast component via a modified fast differential equation. The idea led to the development of multirate infinitesimal step (MIS) methods by Wensch et al. (BIT, 2009.)G\"{u}nther and Sandu (BIT, 2016) explained MIS schemes as a particular case of multirate General-structure Additive Runge-Kutta (MR-GARK) methods. The hybrid approach offers extreme flexibility in the choice of the numerical solution process for the fast component. This work constructs a family of multirate infinitesimal GARK schemes (MRI-GARK) that extends the hybrid dynamics approachin multiple ways. Order conditions theory and stability analyses are developed, and practical explicit and implicit methods of up to order four are constructed. Numerical results confirm the theoretical findings. We expect the new MRI-GARK family to be most useful for systems of equations with widely disparate time scales, where the fast process is dispersive, and where the influence of the fast component on the slow dynamics is weak.
翻译:在许多实际应用中产生的差异方程式具有多重时间尺度的特点。 多时间整合的目的是通过以不同、适当时间步骤将每个规模分开来有效地解决这些问题,同时确保数字解决方案的总体准确性和稳定性。在一份有创举的论文中,Knoth和Wolke(APNUM,1998年)提出了一个混合解决办法:以明确的龙格-库塔方法将慢方组件分解,并通过修改快速差异方程式推进快方程式。这一想法导致Wensch 等人(BIT,2009年)G\\{u}nther和Sandu(BIT,2016年)开发了多级通用结构 Additive Runge-Kutta (MR-GARK) 的多元无限无限无限无限无限的无限步骤(MIS ) 计划, 其实际的精确和隐含的动态分析, 其最清晰和隐含的模型, 其核心- 核心- 核心- 结构- 其核心- 和 核心- 核心- 结构- 其核心- 、 其最核心- 结构- 其核心- 其 其 其 其 其 其 结构- 其 其 结构- 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 结构- 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其 其