We study the singularity probability of random integer matrices. Concretely, the probability that a random $n \times n$ matrix, with integer entries chosen uniformly from $\{-m,\ldots,m\}$, is singular. This problem has been well studied in two regimes: large $n$ and constant $m$; or large $m$ and constant $n$. In this paper, we extend previous techniques to handle the regime where both $n,m$ are large. We show that the probability that such a matrix is singular is $m^{-cn}$ for some absolute constant $c>0$. We also provide some connections of our result to coding theory.
翻译:我们研究随机整数矩阵的奇数概率。 具体地说, 随机 $\ timen n$ 矩阵, 其整数条目从 $- m,\ ldots, m ⁇ 中统一选择的整数条目的概率是单数。 这个问题在两种制度下已经研究过: 大 美元 和 常数 $ ; 大 美元 和 常数 $ ; 或 大 美元 和 定数 $ 。 在本文中, 我们扩展了先前的技巧, 来处理既 $, 美元 也 很大 的 。 我们显示, 这种矩阵的奇数是 $- c $ 。 我们还提供了我们的结果与编码理论的一些连接 。