We study the query complexity of finding a Tarski fixed point over the $k$-dimensional grid $\{1,\ldots,n\}^k$. Improving on the previous best upper bound of $\smash{O(\log^{2\lceil k/3\rceil} n)}$ [FPS20], we give a new algorithm with query complexity $\smash{O(\log^{\lceil (k+1)/2\rceil} n)}$. This is based on a novel decomposition theorem about a weaker variant of the Tarski fixed point problem, where the input consists of a monotone function $f:[n]^k\rightarrow [n]^k$ and a monotone sign function $b:[n]^k\rightarrow \{-1,0,1\}$ and the goal is to find an $x\in [n]^k$ that satisfies $either$ $f(x)\preceq x$ and $b(x)\le 0$ $or$ $f(x)\succeq x$ and $b(x)\ge 0$.
翻译:我们研究在 $1,\\\ ldots,n ⁇ k$的 方格上找到 Tarski 固定点的查询复杂性。 改进 $smash{ O (\\ log\\\\\ lceil k/3\ rceil} n) $[ FPS20] 的上限, 我们给出了一个具有查询复杂性的 $smash{ O(\ log ⁇ lceil (k+1/2\rceil} n) 的新的算法。 这是基于关于 Tarski 固定点问题的较弱变量的新分解式。 输入由 onetone 函数构成 $f: [n] k\\\ right\ right [n] k$和 onetonone 符号函数 $b: [n] k\\\\\rightrowrow { 1,0, 1 美元, 并且目标是找到 $x$\ 美元, 美元, 美元, 美元和 $( x) 美元。