The union-closed sets conjecture states that in any nonempty union-closed family $\mathcal{F}$ of subsets of a finite set, there exists an element contained in at least a proportion $1/2$ of the sets of $\mathcal{F}$. Using the information-theoretic method, Gilmer \cite{gilmer2022constant} recently showed that there exists an element contained in at least a proportion $0.01$ of the sets of such $\mathcal{F}$. He conjectured that his technique can be pushed to the constant $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx0.38197$ which was subsequently confirmed by several researchers \cite{sawin2022improved,chase2022approximate,alweiss2022improved,pebody2022extension}. Furthermore, Sawin \cite{sawin2022improved} showed that Gilmer's technique can be improved to obtain a bound better than $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. This paper further improves Gilmer's technique to derive new bounds in the optimization form for the union-closed sets conjecture. These bounds include Sawin's improvement as a special case. By providing cardinality bounds on auxiliary random variables, we make Sawin's improvement computable, and then evaluate it numerically which yields a bound around $0.38234$, slightly better than $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.


翻译:工会封闭的设置猜测显示, 在任何非空的工会封闭的家族 $\ mathcal{F} 子集 $\ mathcal{F} 中, 至少有一个元素包含在 $\ mathcal{F} 的每套美元中一个比例 0. 0. 0. 美元。 Gilmer\ cite{ gilmer2022 contating} 最近使用信息- 理论方法显示, 至少有一个元素包含在 $2\ mathcal{F} 中的比例 。 他略微推测, 他的技术可以被推到 $\ frac{ 3\ sqrt{ 5\\\ apropprox0. 381. 197 美元中, 这一点后来得到一些研究人员的确认 \ cite{sawin2022 简洁, chaseweys2022 impilitive, pepbody22extion} 。 此外, Sawin\ cite{calite{cal $s the freal destress to more lady $rough a $rass lax lax 5_subs a class a subs a subilds a subilds aces.

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