We study the problem of estimating the source of a network cascade given a time series of noisy information about the spread. Initially, there is a single vertex affected by the cascade (the source) and the cascade spreads in discrete time steps across the network. The cascade evolution is hidden, but one can observe a time series of noisy signals from each vertex. The time series of a vertex is assumed to be a sequence of i.i.d. samples from a pre-change distribution $Q_0$ before the cascade affects the vertex, and the time series is a sequence of i.i.d. samples from a post-change distribution $Q_1$ once the cascade has affected the vertex. Given the time series of noisy signals, which can be viewed as a noisy measurement of the cascade evolution, we aim to devise a procedure to reliably estimate the cascade source as fast as possible. We investigate Bayesian and minimax formulations of the source estimation problem, and derive near-optimal estimators for simple cascade dynamics and network topologies. In the Bayesian setting, an estimator which observes samples until the error of the Bayes-optimal estimator falls below a threshold achieves optimal performance. In the minimax setting, optimal performance is achieved by designing a novel multi-hypothesis sequential probability ratio test (MSPRT). We find that these optimal estimators require $\log \log n / \log (k - 1)$ observations of the noisy time series when the network topology is a $k$-regular tree, and $(\log n)^{\frac{1}{\ell + 1}}$ observations are required for $\ell$-dimensional lattices. Finally, we discuss how our methods may be extended to cascades on arbitrary graphs.


翻译:我们根据时间序列来估计网络级联的来源问题, 给出了一个时间序列 。 最初, 存在一个受级联( 源) 和级联在整个网络中分散的时间步骤影响的单一顶点 。 级联的进化是隐藏的, 但人们可以观察每个顶点的噪音信号的时间序列。 假设一个顶点的时间序列是 i. d 的序列。 在级联影响顶点之前, 变化前分布的样本 $+0 美元, 而时间序列是 i. d. 的序列 。 一旦级联影响顶点, 则会有一个由后端分配的 $1 美元 和 级联的样本 。 在Bayesian 的设置时, 最上层 = = mortal- oralal- oriaxeral ormax millal ormal orm 。 我们的顶端/ 最高端点是最优的温度 。

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