An $H$-graph is one representable as the intersection graph of connected subgraphs of a suitable subdivision of a fixed graph $H$, introduced by Bir\'{o}, Hujter and Tuza (1992). An $H$-graph is proper if the representing subgraphs of $H$ can be chosen incomparable by the inclusion. In this paper, we focus on the isomorphism problem for $S_d$-graphs and $T$-graphs, where $S_d$ is the star with $d$ rays and $T$ is an arbitrary fixed tree. Answering an open problem of Chaplick, T\"{o}pfer, Voborn\'{\i}k and Zeman (2016), we provide an FPT-time algorithm for testing isomorphism and computing the automorphism group of $S_d$-graphs when parameterized by~$d$, which involves the classical group-computing machinery by Furst, Hopcroft, and Luks (1980). We also show that the isomorphism problem of $S_d$-graphs is at least as hard as the isomorphism problem of posets of bounded width, for which no efficient combinatorial-only algorithm is known to date. Then we extend our approach to an XP-time algorithm for isomorphism of $T$-graphs when parameterized by the size of $T$. Lastly, we contribute a simple FPT-time combinatorial algorithm for isomorphism testing in the special case of proper $S_d$- and $T$-graphs.


翻译:$H$ 是一个代表面值, 由 Bir\ { { } 、 Hujter 和 Tuza (1992 ) 推出, 由 Bir\ { { { } 、 Hujter 和 Tuza (1992 ) 推出的相联子图的交叉图。 如果能够通过包含来选择代表 $H 的子图不可比较, 则使用 $H 。 在本文中, 我们集中关注 $S_ d$ 和 $T 的不形态学问题, 即 $S_ d$ 和 $T 的恒星系, 使用 $D 和 $T 任意固定的恒星系 。 我们还展示了 查普利、 T\\ pfer、 Voborn\ 和 Zeman ( ) 的开源值的开源值的开源值的开源值的开源值问题, 我们用 Exmortal- lax- drographal- rographal- laism as the ex lax- lax- lax- lax- lax- lax- lax- lax- lax lax lax- lax- wexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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