解读吴文俊三大研究与人工智能的渊源 | 百年诞辰纪念

2019年5月12日是著名数学家吴文俊的诞辰100周年纪念日。1956年，吴文俊因为在拓扑学上的成就，与华罗庚、钱学森获得首届国家自然科学一等奖；在38岁时被评为学部委员，是当时最年轻的学部委员之一；2017年5月7日，吴文俊去世，享年98岁。吴文俊不仅有松柏之寿，也同样有着长期而活跃的学术生涯。他长期参与数学界的地外国际交往，1979年，他与关肇直等人共同筹建中国科学院系统科学研究所；1986年他在国际数学家大会上作关于中国数学史的报告，引起广泛的兴趣．形成了复兴中国数学的新趋势；他在1970年代末开创了数学机械化的全新领域，这方面的学术思想更多地由他在90年代创立的中科院数学机械化重点实验室传承。

吴文俊还是同样也是中国人工智能历史上一位里程碑式的开拓者。他提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的里程碑，他也因此获得1997年的国际自动推理最高奖——埃尔布朗自动推理杰出成就奖。但吴文俊晚年曾自我评价，自己最得意的是中国古代数学史的研究，“拓扑的那些工作不算什么”。由此可见，吴文俊平生最得意的三件事，古代数学史的研究排在第一，拓扑学排在第二，数学机械化证明恐怕只能屈居第三。借吴文俊诞辰100周年纪念日之际，在缅怀前辈的同时，让我们一同回顾他在上述领域的创新研究中做出的巨大贡献，解读吴文俊与人工智能的渊源。

为中国古代数学史正本清源

美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授顾险峰曾经提到：“在我学习数学的历程中，所接触的主要定理和理论框架都是由西方人所创立，极少见到中国数学家的名字，直到学习了吴先生关于中国古代数学的系统论述，才令我体会到中国传统数学的伟大和深邃。”顾险峰所描述的是西方学术界长期以来对中国古代数学根深蒂固的偏见，而吴文俊对中国数学史的研究，正是对这种错误观点的修正。

吴文俊的研究从根本上澄清了，中国古代数学也是现代数学发展的源头之一，除了希腊欧几里得公理化的演绎推理体系，还有另一条与之平行的中国古代数学。但中西方认识世界和进行总结规律上的出发点并不一样，与中国古人重视实际效果的“实用主义”不同，古希腊人从一开始就力图探索和总结世界的本元——如毕达哥拉斯学派甚至认为，整个世界的本体就是“数”，任何事物都都可以用数来描述。这就像今天有观点认为“万物都是图灵机”，可以说毕达哥拉斯学派就是当年的图灵学派。

出发点的不同也造就了中外数学的两条不同的表述路线。以毕达哥拉斯定理也就是我们所熟悉的勾股定理为例，在欧氏几何中将其抽象化表述为“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”；而我们的祖先将之具体化为更容易记忆和应用的“勾三股四弦五”（同样的还有圆周率，西方用正多边形无限逼近极限的方法计算，中国则略去过程直接套用22/7的“约率”和355/113的“密率”用于计算），这也是西方数学看起来严丝合缝，中国数学看起来并没有形成一个严密的体系的原因。

（《周髀算经》中对勾股定理的证明）

从《海岛算经》中证明的复原入手，吴文俊发现西算传入以后，用西方数学中添加平行线或代数方法甚至三角函数来证明的思路是完全错误的，并不符合中国古代几何学的原意。他在许多方面提出了独到的见解，这一发现在他在1975年到法国高等科学研究院访问时报告中有详细提及。

在吴文俊看来，中国古代数学的关键字是“术”，无论“大衍求一术”、“更相减损术”或者其他的“术”，都是以机械化的解答方式，来解决数学中的实际问题。它的方法是“机械”的，与西方数学“灵机一动”的证明过程不一样。而这也是中国古代将数学称之为“算术”的原因——所谓算术，就是计算的“术”，这个“术”用今天的话来说就是算法，换言之，中国古代数学，就是一部算法大全。

吴文俊在中国古代数学正本清源的分析，也丰富了近代数学体系的构架，具有决定性的意义。如杨振宁所说自己最重要的成就就是提高了中国人的自信，吴文俊在数学史上的研究也起到了类似的作用。这个时代最聪明的人，果然会有最多的共同语言。

拓扑学示性类研究的承上启下者

吴文俊对数学的主要领域——拓扑学做出了重大贡献。他引进的示性类和示嵌类被称为“吴示性类”和“吴示嵌类”，他导出的示性类之间的关系式被称为“吴公式”。他的工作是1950年代前后拓扑学的重大突破之一，拓扑学在这一时代也成为现代数学的主流学科，吴文俊正是当年引发“拓扑地震”的重要人物之一。

（吴文俊五十年代在中科院讲课）

纤维丛及示性类理论是现代数学最基本概念之一，在数学各个领域乃至数学物理有着广泛的应用。吴文俊在法国攻读博士期间最早的工作之一就是对Whithey的丛乘积公式给出一个简短而圆满的证明，全文发表在顶尖杂志Annals of Mathematics上，Whithey于是认为，从此他的手稿可以不必保留了。对于同时代研究这一方向的科学家来说，颇有当年李白“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”的感觉。

吴文俊在他的博士论文中定出了各种不同示性类之间的种种关系，并得出4维可定向微分流形上具有概复结构的充分必要条件，并在此基础上给出了“吴示性类”和“第一吴公式”。这一公式不仅使得此前几乎无法计算的Stiefel-Whithey示性类变得极易计算，而且还解释了Stiefel-Whithey示性类不仅是拓扑不变的，而且还是同伦不变的。这一研究得到了大数学家Weil的青睐，但他告诉吴文俊，Grassmann流形上的Steenrod运算还没有算出。经过在咖啡馆里一个月的奋战，吴文俊又给出了著名的第二吴公式。1956年Dold证明，这一公式给出了Stiefel-Whithey示性类之间所有可能的关系。这一工作被认为是示性类研究的分水岭，是对示性类的划时代贡献。

除此之外，吴文俊在其他示性类、微分流形和复合形的嵌入理论方面的研究也起到了承上启下的作用。他对邦特里亚金示性类的研究证明了其拓扑不变性，由此推出某些邦特里亚金类的组合(模p)的拓扑不变性；他还解决了1维复形在平面中的嵌入问题，使著名的Karatowski不可嵌入定理成为特例，并将其应用于印刷线路问题，为图论开辟了新的方向，在微分流形的嵌入问题上也给其留法时期的同门师弟A. Haefliger给出的微分嵌入定理以吉大启发。吴文俊对拓扑学的各项研究已成为这一领域的经典成果。

【 犹他壶模型，图片来源：维基百科  所有者：Dhatfield 】

“吴示性类”所揭示的方法此后被应用于计算力学、CAD设计、计算机图形学和计算机视觉等领域，对于人工智能的发展也有着重要的作用。如在CAD设计中的网格生成问题以及其他诸多组合几何问题本质上与吴文俊发展的示嵌类、示痕类有着本质的联系，而计算机图形学中著名的“犹他茶壶模型”和计算机视觉中至关重要的的形状分析问题，吴文俊提出的数学机械化“吴方法”也提供了非常基本的算法。

数学机械化开启定理证明的新思路

相比起吴文俊自己最得意的中国古代数学史和拓扑学的研究，数学机械化反而是吴文俊最为人们所熟知的研究成果。这一方面是因为吴文俊后期的研究数学机械化为重点，并组建了以机械化重点实验室，这方面的传承由高小山、张景中、杨路等学者进一步发扬光大；另一方面，数学机械化的门槛也比拓扑学等要来得低一些，搜狗创始人王小川就是在高中时用吴文俊的数学机械化方法实现了几何定理自动证明，这也使其开始走上了人工智能的道路。

“数学机械化”一词取自数理逻辑学家王浩的著作《数理逻辑总览》中的“向机械化数学前进”一节。1958年，美国洛克菲勒大学教授王浩设计的计算机程序在IBM 704型计算机上证明了罗素与怀特海《数学原理》中220条有关命题逻辑的定理，稍后又扩展到了400条，这一成就震动了学术界，被誉为“一 击落七蝇（Seven flies in one blow)”。王浩还因此于1983年获得人工智能国际联合会与美国数学会联合颁发的里程碑奖。70年代末当王浩得知吴文俊进行数学机械化的相关研究室曾给吴文俊写信，建议吴文俊用已有的代数包，这大概是哥德尔系定理证明和塔尔斯基系定理证明为数不多的交流。

虽然“数学机械化”一词由王浩提出，吴文俊利用中国古代数学“机械化”的方法才更好地体现出了“机械化”的含义。吴文俊曾用中小学学习数学的过程来解释数学机械化的原理，小学时的加减乘除运算都是按照一定的法则机械进行，但像“鸡兔同笼”之类的问题则需要运用巧思；到了中学学习到线性联立方程组时，又可以像四则运算一样按照法则机械地解答这一类问题；但此时的几何证明又想小学时候的四则难题一样需要巧思，所以说这是一个随着知识的增长螺旋上升的过程。在此过程中，吴文俊的数学机械化的思路，正是将原来非机械化而极为困难的数学问题变成机械化的课解决的问题。所以吴文俊说自己从中国古代数学研究思路中找到了灵感，这一方面固然有老一辈科学家对中国传统的捍卫的成分在内，但对于吴文俊这样一通则百通的高人这里也不完全是一句空话。

吴文俊几何定理自动证明的“吴方法”被称为自动推理领域的先驱性工作，他也因此于1997年获得“Herbrand自动推理杰出成就奖”。他的哲学思想是典型的数学家思路，这和王浩等基于逻辑推理做定理证明的逻辑学家不尽相同，他所看重的中国古代机械化数学与欧几里得几何相反，在几何学上根本不考虑定理的证明与发明，而是着重各种问题特别是几何问题的解决并由此提炼成原理法则，进而解决其它更难的问题。这种问题的解决，往往自然导致方程的求解。这实际上也是之前提到的中国与西方哲学思想的不同导致的差异，前者重实效应用，后者重逻辑推理。如果再投射到今日的人工智能，这就好比今日的人工智能之争，偏理性主义的“符号主义”和偏经验主义的“连接主义”的差别，虽则出发点不同，实际上都是人工智能体系的一部分。从吴文俊所做的数学机械化研究虽然更多的是从数学的角度，但这也给人工智能以新的启发；中国人工智能学会将智能科学技术领域最高奖项定名为“吴文俊奖”，不仅仅是因为吴文俊在定理证明这个人工智能的早期方向达到了新的高度，更是因为其背后的哲学思想对人工智能研究者的启发。

小结

吴文俊是中国近代数学研究的集大成者。在他的研究中融合了中国与西方、古代与现代、理性主义与经验主义的诸多元素，在西方近代数学尤其是拓扑学的发展中起到里程碑式的作用，同时又能从中国古代机械化方法中找到解决问题的新思路；他在数学机械化研究的思想有明显的经验主义特征，但却又是强调理性逻辑推理的“符号主义”研究的一个高点；在中国人工智能研究的历史上，他也给与后来人以观念和方法上的启示。在我们编写的《中国人工智能简史》一书中吴文俊有着重要的篇幅，同时在书中，我们也将讲述更多关于“理性主义”和“经验主义”这两大流派对中国人工智能研究的影响，感兴趣的读者欢迎点击文末阅读原文查看 中国人工智能简史 讨论小组。

参考资料：

【1】高小山等：《吴文俊与中国数学》；

【2】顾险峰：吴文俊先生的思想对我学术研究的影响；

【3】胡作玄：吴文俊（中科院数学机械化重点实验室官方网站）

【4】林开亮：中国古代数学没有定理，它是如何运作与发展的？

【5】吴文俊：数学机械化——回顾与展望

【6】尼克，《人工智能简史》