量子力学建立的历史、表述方式

2018 年 3 月 1 日 科学出版社 郭纯孝

《量子力学讲义》是在唐敖庆教授于1978年2月至7月给吉林大学理论化学研究所的量子化学研究生、进修生讲课的基础上整理而成.唐老师在课前发了一个比较详细的讲义.这次整理是在这份讲义的基础上，参考了部分同志的课堂笔记，章节、内容均保持不变.但是，问题的提法、公式的推导均以课堂讲授的为准.《量子力学讲义》力求把唐老师在课堂讲授时，叙述由浅入深、公式推导严谨详细、重点归纳总结、基本观点清晰明确等特点反映出来.但由于我们水平有限，很难做到这点.

唐老师非常鼓励我们整理讲义.为了有助于对一些重要问题的消化、理解，在每章后增加了习题，供学习后练习.

量子力学的研究对象是原子、分子这一层次的微观粒子.在这一层次中，电子的量子物理特别重要.因为正是在那些电子的量子轨道得以形成的特殊关节点上，自然界产生了它的原子、原子基团、分子以及有生命的物体.因此，量子力学成为理论物理、固体物理、量子化学的重要理论基础，也是半导体、激光等新技术的理论基础.为了更好地学习这门课程，简单追述一下量子力学建立的历史和量子力学的四种表述方式的各自特点是有必要的.

1900年，德国物理学家普朗克(Planck)为了解释黑体辐射能量曲线，提出能量的重要概念.他认为：辐射就其能量而言，是不连续的，是一份一份地进行.每份具有能量hν，称为能量子.

1905年，在瑞士专利局任检查员的爱因斯坦(Einstein)为了解释光电效应，发展了普朗克的能量子的概念.普朗克没有回答一份份的能量是怎样发射的；能量是平均分配到空间，还是向着一个方向发射.爱因斯坦认为，每份能量集中在一起，以光速c向一个方向传播，就像射出的子弹一样，这就是光量子，简称光子.1923年，美国物理学家康普顿(Compton)成功地实现了光子同电子的碰撞.从此，光既是波又是粒子这样一个二象共存的图像开始被人们接受.

1913年，丹麦青年物理学家玻尔(Bohr)为了解释氢原子的线状光谱，提出了稳定的氢原子模型.他认为电子在原子中不可能沿着经典物理所允许的轨道运动，而只能沿着量子条件所允许的一组特殊轨道运动.玻尔轨道是圆形轨道，后经德国物理学家萨默菲尔德(Sommer field)修改为椭圆轨道，这就是旧量子论.旧量子论虽然成功地解释了氢原子光谱的实验数据，但是对稍为复杂一点的问题就感到束手无策.另外，理论本身也存在逻辑上的矛盾——连续的经典轨道和不连续的量子条件机械地拼凑在一起.

旧量子论的缺陷，使人们认识到简单地引入量子概念不能把矛盾全部解决.为了把握微观世界，必须对经典物理作彻底改造.

1923年，在法国巴黎大学理学院读博士研究生的德布罗意(de Broglie)受爱因斯坦相对论思想的启发，思考到当光子的固有质量不为零，情形将怎样?虽然这种带有固有质量的光子的概念不为人们接受，但它却使德布罗意有了一个重要的发现，因为这样的“光子”同物质粒子类似.既然光有二象性，物质粒子为什么没有呢?德布罗意将这种思想于1924年写入了他的博士论文中.他写道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方法来是过于忽略了粒子的研究方法；在物质的理论上，是否发生了相反的错误?是不是我们把粒子的图像想得太多，而过分忽略了波的图像呢?”这就是德布罗意物质波的假说.

德布罗意的物质波于1927年被美国贝尔实验室的戴维孙(Davisson）和革末（Germer)的意外实验所证实.

1925年底，德布罗意的物质波虽然还未被实验证实，但由于爱因斯坦的赞词，受到了瑞士苏黎世大学教授薛定谔的关注.在此之前，薛定谔在给库兰特和布尔伯特即将出版的《数学物理方法》一书写书评时，从中学到了本征值.因此，当他接受了德布罗意关于物质粒子(如电子)具有波粒二象性的见解之后，在几个月内，也就是1926年1月，就把他的关于氢原子的波动力学的论文交付出版界.量子力学的另一分支——矩阵力学于1925年7月问世，是由海森堡(Heisenberg)等创立的.年仅二十出头的海森堡早在德国哥廷根大学读书时，就从他的老师玻恩(Born)和萨默菲尔德那里学习了旧量子论.他看到了旧量子论的严重困难，决心自己另起炉灶.

他发现：一个粒子的运动能用两组量p、q来规定.他把p、q用两个方格表(矩阵)来代替，并且让p×q≠q×p，就能得到光谱上的组合定律和玻尔频率条件.当时，海森堡并不知道他的方格表就是矩阵，但是在他的同学乔丹(Jordan)及老师玻恩的帮助下，很快把他的发现用矩阵论的形式表示出来，成为矩阵力学的最初形式.1925年，海森堡去英国剑桥访问，把自己的发现告诉了和他年龄相仿的狄拉克(Dirac).狄拉克对他的矩阵并不感兴趣，但从他的巨大的方格表中提取了精华——pq≠qp.经过计算，他发现了一个惊人的巧合，那就是根据经典理论算出的泊松括号［q,p］的值，乘以ih与qp-pq的值一样.因此，他定义了算子q、p，并建立了它们的量子泊松括号.由此出发，几乎和薛定谔同时完成了自己对氢原子的独特的解法.

不到一年，量子理论的三种表述：波动力学、矩阵力学和算子力学(狄拉克的理论，常称为算子力学)相继问世.这三种理论不是互相无关的.1926年3月，薛定谔证明，矩阵力学可以纳入他的波动力学之中，且自认为他的理论也能吞并狄拉克的理论.但到1928年，人们终于公认是狄拉克的理论吞并了一切.薛定谔的理论和海森堡的理论只不过是他的抽象的算子力学的两个表象而已.而且在1928年，狄拉克也完成了他的电子相对论波动方程，并预言了正电子的存在.两年后，美国科学家安德森(Anderson)发现了正电子.这样从1924年到1928年，前后经过四年的时间完成了量子力学的建立工作.

1927年，海特勒(Heitler)和伦敦(London)首次把量子力学用到氢分子上获得成功，揭开了量子化学的序幕.

波动力学抓住了微观粒子的波粒二象性这一特殊本质，从内容上对经典力学加以改造；矩阵力学抓住了微观领域的基本现象(如光谱组合原则)，在形式上对经典力学加以改造；而狄拉克的理论主要是凭借着泊松括号来建立他的理论体系，概括性更强.

量子力学的第四种表述是1947年问世的范曼(Feynman)途径积分，出于美国科学家范曼之手.范曼途径积分在基本粒子的研究上是非常强有力的工具.我们的课程不涉及这方面的内容.《量子力学讲义》是唐敖庆院士留下的宝贵财富和重要的学术资料.出版这份资料作为对唐老的纪念和缅怀.张明瑜、张红星、郑清川、贾然、战久宇参加了《量子力学讲义》的整理和校对工作，在此表示感谢.《量子力学讲义》未经唐老本人审阅，书中存在的问题和不当之处是我们的过失.

郭纯孝

2017年9月于长春