在不遵守牛顿第三定律的系统中，芝大学者发现奇异点与相变的联系

2021 年 11 月 12 日 机器之心

选自QuantaMagazine

作者：Stephen Ornes

机器之心编译

在不遵守牛顿第三定律的系统中，物理学家发现了一种新的理论，相关研究刊登于《自然》杂志。

牛顿第三定律告诉我们，每一个作用力都会对应一个方向相反、大小相等的反作用力。它解释了为什么我们不会从地板上掉下去，为什么划桨就可以让船前行。当一个系统处于平衡状态（equilibrium）、既没有能量输入也没有能量输出时，这种相互作用就是一种规律。

在数学上，我们可以用统计力学对这些系统进行优雅的描述（统计力学是物理学的一个分支，用来解释对象集合的行为）。如此一来，研究人员就可以完整地建模引发物质相变的条件。相变指的是物质的一种状态转变为另一种状态，比如水结成冰。

但很多系统远未达到平衡，比如我们的身体，它需要利用新陈代谢把物质转化为能量。一旦我们的身体达到平衡，它就成了一具尸体。

在这类系统中，牛顿第三定律就没有那么绝对了：「大小相等、方向相反」的说法会被打破。「假设有两个粒子 A 和 B，A 与 B 交互的方式不同于 B 与 A。」芝加哥大学凝聚态理论学家 Vincenzo Vitelli 解释说。这种非互易关系出现在神经网络、流体系统粒子，甚至社会群体等系统中。例如，掠食者会吃猎物，但猎物不会吃掠食者。

芝加哥大学凝聚态理论学家 Vincenzo Vitelli。

对于这些非常规系统，统计力学在表示相变方面做得还不够。平衡之外，非互易性占了主流。成群结队的鸟向我们展示了这条定律有多么容易被打破：由于这些鸟看不到自己背后的情况，所以每只鸟只会改变自己的飞行模式来回应前面的鸟。所以鸟 A 和鸟 B 的交互方式不同于鸟 B 和鸟 A 的交互方式。这不符合互易性。同样，汽车在高速公路上高速行驶或堵车也不是互易的。研究超材料的物理学家还能利用非互易元素来设计声学、量子或机械设备。

这些系统很多都不处于平衡状态，因为每个成分都有自己的能量来源：细胞靠 ATP、汽车靠汽油供能。但所有这些额外的能量来源和不匹配的反应使得一个复杂的动力系统超出了统计力学的范畴。我们该如何分析这些不断变化的系统中的物相呢？

Vitelli 和他的同事在一种名为 exceptional point 的数学对象中找到了答案。一般来说，一个系统中的 exceptional point 就是奇异点（singularity）。在这个点上，两个或两个以上的典型特性变得难以区分，并在数学上坍缩为一个特性。在一个 exceptional point 上，系统的数学行为与附近点的行为有很大的不同，而 exceptional point 通常描述像激光这样的系统中不断获得和损失能量的奇怪现象。

最近，该团队发现，这些 exceptional point 也控制着非互易系统的相变。exceptional points 并不新鲜，几十年来，物理学家和数学家一直在不同的环境下研究它们。但是 exceptional point 从来没有和这种相变联系在一起。「这是之前没人想过的，在非平衡系统中使用这些。」新墨西哥州洛斯阿拉莫斯国家实验室的物理学家 Cynthia Reichhardt 表示。

这项新研究还在一系列领域和现象之间建立了联系，多年来，这些领域和现象之间似乎都没有什么关系。「我相信他们的工作代表了数学发展的广阔领域，」纽约大学科朗数学研究所的 Robert Kohn 说道。

这项研究于今年四月份发表在《自然》杂志上。

论文链接：https://www.quantamagazine.org/a-new-theory-for-systems-that-defy-newtons-third-law-20211111/

论文预印本链接：https://arxiv.org/pdf/2003.13176.pdf

对称性破缺

这项研究不是从鸟类或神经元开始的，而是从量子怪异（weirdness）开始。几年前，本文的两位作者——芝加哥大学博士后研究员 Ryo Hanai 和他的导师 Peter Littlewood 研究了一种叫做电磁极化子的准粒子。

准粒子本身不是粒子，而是一系列量子行为的集合，这些行为似乎应该与一个粒子相联系。当光子与激子（本身是准粒子）耦合时，就会出现极化子。极化子的质量非常低，这意味着它们可以非常快速地移动，并且可以在比其他粒子更高的温度下形成一种被称为玻色–爱因斯坦凝聚 (BEC) 的物质状态——在这种状态下，原本分离的原子全部坍缩成一个量子态。

但是，使用极化子创建 BEC 很复杂，会出现泄露（leaky）。一些光子不断地逃离系统，这意味着系统中需要不断泵入（pump）光来弥补损失。这意味着它失去了平衡。「从理论上来看，这点对我们来说非常有趣，」Hanai 表示。

相变，例如水结成冰，在平衡系统中是很容易理解的。但芝加哥大学的 Peter Littlewood（左）和 Ryo Hanai 发现，在能量不断泵入的量子系统时，相变可以理解为奇点，称为 exceptional point。

对 Hanai 和 Littlewood 来说，这类似于创造激光器。「光子一直在泄漏，但尽管如此，你仍然可以保持某种相干态，」Littlewood 表示。出现这种状况的原因是不断添加新能源为激光器提供动力。研究人员想知道：失去平衡如何影响向 BEC 或其他奇异的物质量子态的转变？尤其是，这种变化如何影响系统的对称性？

对称性的概念是相变的核心。液体和气体被认为是高度对称的，如果你以分子大小的射流击穿它们，粒子在每个方向上的喷射看起来都一样。但如果穿过的是晶体或其他固体，你会发现分子都是直线排列的，你所看到的模式由你所处的位置决定。研究人员表示， 当一种材料从液体或气体变成固体时，它的对称性就被破坏了。

在物理学中，研究最多的相变之一出现在磁性材料中。类似铁或镍这样的磁性材料中的原子都有一种叫做磁矩的东西，磁矩是一个很小的单独磁场。在磁体中，这些磁矩都指向同一个方向，共同产生磁场。但如果你对材料进行充分加热，即使是用蜡烛，这些磁矩就会变得非常混乱。有些磁矩指向一种方向，而另一些指向不同的方向。整体磁场消失，对称性恢复。当磁体冷却时，磁矩再次对齐，打破自由形式的对称性，并恢复磁性。

鸟群也可以被视为对称性破缺：它们不是随机方向飞行，而是像磁体中的自旋一样排列。但这里有一个重要的区别：铁磁性相变很容易用统计力学来解释，因为它是一个平衡系统。

但是鸟类，以及细胞、细菌，又或者是路上行驶的汽车，会给自身系统提供新的能量。因为它们有内能来源，所以它们的行为就有所不同。而且因为它们不保存能量，就系统而言，这些能量不知是从哪里出现的。

跳出固有思维

Hanai 和 Littlewood 通过思考众所周知的相变开始他们对 BEC 相变的研究。对于水来说，尽管液态水和蒸汽看起来不同，但它们之间基本上没有对称性区别。从数学的角度来说，在相变点，这两种状态是无法区分的。在平衡系统中，该点被称为临界点。

临界现象随处可见，在宇宙学、高能物理学，甚至生物系统中都能看到临界现象。但在所有这些例子中，研究人员无法找到一个很好的模型来说明在经历恒定 damping 和 pumping 之后，量子力学系统与环境耦合时所形成的凝聚物。

Hanai 、Littlewood 觉得，临界点和 exceptional points 可能必须共享一些重要的属性，即使它们来自不同的机制。「临界点是一种有趣的数学抽象，在这一点，你不能区分两种物相，同样的事情也发生在这些极化子系统中。」Littlewood 表示。

在数学框架下，激光（在技术上是一种物质状态）和 polariton-exciton BEC 具有相同的基本方程。在 2019 年发表的一篇论文《Non-Hermitian Phase Transition from a Polariton Bose-Einstein Condensate to a Photon Laser》中，研究人员将这些点联系起来，提出了一种新的、至关重要的通用机制。通过该机制，exceptional points 会引发量子动力系统中的相变。

Hanai 表示，大约在同一时间，他们意识到即使他们正在研究物质的量子态，他们的方程也不依赖于量子力学。他们正在研究的这些现象适用于更大、更普遍的现象吗？他们开始设想，这个想法（将相变与 exceptional point 联系起来）也可以应用于经典系统。

他们找到了 Vitelli 和 Vitelli 实验室的博士后研究员 Michel Fruchart 帮助研究。他们的工作延伸到超材料，超材料具有丰富的非互易性交互。

Vitelli 和论文共同一作、芝加哥大学 Kadanoff-Rice 博士后研究员 Michel Fruchart。

Vitelli 和 Fruchart 立即产生了兴趣，并提出了疑问——在电磁极化子凝聚态中是否有一些普遍的原理，一些关于不保存能量的系统的基本定律？

原地打转的小机器人

研究人员开始寻找支撑非互易性和相变之间联系的一般原则。对 Vitelli 来说，这意味着从实践中重新思考。他习惯于构建物理机械系统来说明困难和抽象现象。例如，他曾使用乐高积木来构建成为拓扑材料的格子，它们的边缘移动方式与内部移动方式不同。「尽管我们谈论的是理论性的东西，但可以利用玩具来证明它，」他这样说道。

但对于 exceptional points，想要通过乐高积木证明远远不够。他意识到使用那些自行移动但受制于非互易交互规则的构建块，可以更容易地建模非互易系统。

因此，研究者开发了一组两轮机器人，它们在编程中表现出非互易性。这些机器人小巧可爱且操作简单。他们使用一些颜色编码的行为对它们进行编程，其中红色和蓝色机器人的动作各自保持一致。但仍表现出非互易性：红色机器人想与蓝色机器人的转向保持一致，而蓝色机器人却想转向相反的方向。结果就形成了自发相变，因为它们都开始在原地旋转。

非互易性交互导致红蓝机器人原地旋转。

研究者将机器人分散在地板上，并同时启动它们，随即出现了一种模式。机器人开始移动，并同时缓慢转向，直到它们全部同一方向地原地旋转。Vitelli 表示，机器人并没有内置旋转功能。「这是由于它们自身不如意的（frustrated）交互导致的，它们总是在行动中受挫。」

这一组旋转中受挫的机器人掩盖了基本理论，但这些旋转恰恰证明了失衡系统的相变。它们展示出的对称性破缺在数学上与 Hanai 和 Littlewood 在观察奇异量子凝聚时发现的现象保持一致。

为了更好地进行比较，研究者转向了数学中的分岔理论。分岔是一种动态系统行为的质变，通常表现为将一种状态分割为两种。

研究者还模拟了红蓝两组以恒定速度移动且彼此之间具有不同关系的智能体。图 1 中，红蓝智能体随机移动。到了图 2，红蓝智能体往同一方向飞行，自发地打破了对称性并表现出群集行为。图 3 中，当红蓝智能体相向移动时，出现了类似的反群集相。到了图 4，红蓝智能体开始了原地旋转，形成另一种自发对称性破缺的情况。

数学家绘制分岔图来分析系统状态如何对其参数的变化作出响应。通常情况下，分岔可以隔离开稳定性与不稳定性，还能够划分不同类型的稳定态。分岔在研究与数学混沌相关的系统中非常有用，其中起始点的小变化可能导致结果出现较大的变化。通过一系列的分岔点，系统从非混沌转移到混沌行为。分岔与相变存在长远的联系，研究者正是在这种联系的基础上更好地理解了非互易性系统。

这意味着研究者还必须考虑能量布局。在统计力学中，一个系统的能量布局展示出了空间中能量的转换（例如从势能转换为动能）。在平衡状态下，物质的相对应能量布局的最小值，即谷值。Fruchart 表示，这种对物相的解释要求系统最终达到这些最小值。

对于这项新研究， Vitelli 认为最重要的意义或许在于它揭示了物理学家和数学家用于描述不断变化系统的现有语言的局限性 。当给定系统平衡状态时，由于没有能量增加或损失，统计力学根据能量最小化来构建行为和现象。但当系统失去平衡状态时，则必须不能再用常见的语言来描述，但仍可以在集体态之间进行转变。研究者的新方法放宽了一种基本假设，即想要描述相变，必须最小化能量。

最后，Vitelli 说道，「当我们假定没有互易性时，则无法定义能量。我们必须将这些转变的语言重塑为动力学语言。」

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/a-new-theory-for-systems-that-defy-newtons-third-law-20211111/

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