还有哪些类似0.99999…=1有趣的事实？

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还有哪些类似0.99999…=1有趣的事实？

2018 年 8 月 9 日 算法与数学之美

初听到0.99999…=1都会吓一跳，不符“常识”，解释之后又感觉数学的魅力所在。

还有那些这样的例子？

再比如：

给地球和小皮球做一个紧箍的钢环，同时给钢环扩大1米，哪个球的平均空隙大？（答案是一样大）

又如皮筋与蚂蚁问题：

一只蚂蚁在理性弹性绳的一端，向另一端以每秒1cm的速度爬行。弹性绳同时以每秒1m的速度均匀地拉长，蚂蚁能否爬到终点？
看起来不行吧？没错，答案是“能”。
简单的解释就是假设弹性绳的速度是每秒0.9cm，那么直觉上蚂蚁就能爬到终点。而弹性绳均匀拉长意味着其上总有一点的速度是每秒0.9cm，也就是说蚂蚁可以爬到这个点。接下来把整个弹性绳分段就好了。

另外没必要说高深的理论，一些简洁平凡的结论就挺有趣了。看起来难以理解，想一想就恍然大悟。

无穷是个很无赖的概念……什么构造出一个全体分数集（有理数）对应正整数集的……

级数里面全体自然数之和为-1/12

微积分当中最妙又最简洁的当属“摆线长度等于圆直径四倍”，这条与圆息息相关，怎么看怎么“无理”的一条线，长度不仅和π没有关系，还是个漂亮的整数倍！：

当时知道“半球体积等于等底等高的圆柱切去一个圆锥的体积”的直观解释的时候真的是拍案称奇。
不知道算不算几何学，但是莱洛三角形是挺神奇的。平稳地搬运东西不一定要用圆木。

而且，不说复杂的，三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）也很神奇啊，三种重要的线都汇聚到某个点上。

迷宫的万能解法也挺流氓的……不过这个算图论或者拓扑学了……说到图论，四色猜想也很经典，然而这个不是“想一想就恍然大悟”的部分了……

对了，拓扑学里还有个“同胚”的神奇概念，例如下面这两个就是拓扑等价的：
类似的，我们还可以得到“8字环和圆环同胚”的结论。在实际生活中也有应用：不打开绳结、不割断绳子，是可以把下图的两个人解开的。

代数算是比较按部就班的领域了……五次方程没有公式解是个挺令人沮丧的事实……
另外尺规作图无法三等分角也是挺令人沮丧的，更有趣的是这个几何问题要用比较深的代数方法解决。

不过有很多经典的问题可以归入代数：

1、上下山问题

上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。

2、芝诺悖论
阿基里斯的速度是乌龟的百倍，乌龟在阿基里斯前一百米。当阿基里斯跑到乌龟现在的位置时，乌龟多跑出去了一米；阿基里斯追上这一米时，乌龟又多跑了一厘米；以此类推，阿基里斯永远追不上乌龟。（0.999…=1与芝诺悖论是异曲同工）
数论里有个很妙的结论，N之前素数的分布频率与ln(N)/N几乎相合，更准确的版本是：

对了，调和级数是发散的！

另外……既然提到了0.999...我觉得有很多日经问题都可以说呀：

3、三门问题
三扇门背后只有一扇门有奖金，另外两扇是空门。参与者选择一扇门后，主持人打开余下两扇门中一扇空门。这时参与者换门获奖率是2/3，不换门的获奖率是1/3。
（说实话我到现在还是不明白为什么有人会觉得两扇门获奖率一样……）

4、男女孩问题
一家人有两个孩子，其中有一个女孩。另一个孩子是男孩的概率是2/3。

5、“魔术师地毯”类问题

6、生日悖论

23人中有两人生日相同的概率大于50%，50人时就可以升高到97%。

下面这个来自M67的Blog，告诉你为什么大家不把“找规律填数”当数学：

圆上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？上图显示的就是 n 分别为 2 、 3 、 4 的情况。可以看到，圆分别被划分成了 2 块、 4 块、 8 块。规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。

事实上真的是这样吗？让我们看看当 n = 5 时的情况：

果然不出所料，整个圆被分成了 16 块，区域数依旧满足 2n-1 的规律。此时，大家都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了吧。偏偏就在 n = 6 时，意外出现了：

此时区域数只有 31 个。

下次还有人问你找规律填数，没啥兴趣的话可以这么回答：答案是oo，因为这是一个以xx为周期的循环数列。