【平面向量/点积】图解高等数学-下 01

[遇见数学] 继续图解高等数学系列, 下半部所用参考书籍为《托马斯微积分》第10版,  希望各位老师和朋友多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 感谢关注!. 

向量

9.1 平面向量

测量某些事物的大小, 如质量, 长度和时间, 只需要一个数和一个测量单位. 相关实数为标量.

向量(vector, 或称矢量)是指一个同时具有大小和方向的几何对象, 可以用来描述力, 位移或速度.

只要向量的大小和方向相同, 即视为相等的向量. 另外如果向量 v 的起点在原点, 则称之为是 v 的标准位置. 观察如下图所示在二维平面(Two-dimensional)下, 当移动一个向量, 所留下轨迹上都视为相同的向量:

向量的分量形式:如果平面上的一个向量 v 等于起点在原点 (0,0) 终点在 ($v_1$, $v_2$) 的向量, 则 v 的分量形式是 $\text{v=(}{v}_1,v_2)$

向量 v 的长度表示成 |v| 或 ||v||.

任何长度为 1 的向量 v 为单位向量. 如果 v=$(v_1,v_2)$ 与正 x 轴成角 θ , 则 $\text{v=(cos}\theta \text{, sin}\theta \text{)}$ . 当 θ 从 0 到 2π 时, 单位向量取遍所有可能方向, 则绘制出单位圆.

向量的代数运算

设 $\text{u=(}{u}_1,u_2)$ 和 $\text{v=(}{v}_1,v_2)$ 是向量, k 是一个标量(实数).加法: $\text{u + v = (}{u}_1+v_1\text{,}{u}_2+v_2)$数乘: $\text{k u = (k}{u}_1\text{, k}{u}_2)$

向量加法的定义几何解释如下动画, 图中一个向量的起点置于两一个向量的终点.

向量加法的另一种表示称为加法的平行四边形定律, 其中的和称为合成向量, 是平行四边形的对角线. 再物理学中, 力, 速度以及加速度等都是按向量的方式相加. 观察下图两个向量之和(红色箭头).一个标量 k 和向量 u 的乘积动画显示如下. 如果 k >0, 则 k u 与 u 有相同的方向; 若 k<0, 则 k u 和 u 有相反的方向.

两个向量的差 u - v 意义是 u - v = u + (-v)

标准单位向量

任何平面向量 v=(a,b) 都可以写成标准单位向量 i=(1,0) 和 j=(0,1) 的如下的线性组合:v = (a,b) = (a,0) + (0,b) = a(1,0) + b(0,1) = a i + b j

长度和方向

在研究运动时, 经常想要知道一个物体朝什么方向和运行有多快. 向量 $\text{v}\ne \text{0}$ , 则 $\frac{v}{|v|}$ 是一个和 v 同方向的单位向量.

切线和法线

当一个物体沿平面(或空间)内的一个路径运动时, 它的速度是路径的一个切向量.

一个向量是一条曲线再一个点 P 的切向量或法向量, 如果它分别平行或垂直于曲线再点 P 的切线. 请观察下图动画:

点积

如果一个力 F 作用再一个路径运动的质点上. 我们经常需要知道力再运动方向的大小.

点积

两个非零向量 $\text{u=(}{u}_1,u_2)$ 和 $\text{v=(}{v}_1,v_2)$ 的点积(或内积)是数 $\text{u}\cdot \text{v =}{u}_1{v}_1+u_2{v}_2$

向量间的夹角

两个非零向量 $\text{u=(}{u}_1,u_2)$ 和 $\text{v=(}{v}_1,v_2)$ 的夹角由下面式子给出:

特别注意: 向量 u 和 v 是正交的, 当且仅当 $\text{u}\cdot \text{v = 0}$

向量投影

下面看看向量 u 在 v 上的向量投影动画:

如果 u 和 v 之间的夹角 θ 是锐角, $u{\text{proj}}_v$ 有长度 $|\text{u}|\text{cos}\theta$ 和方向 $\frac{v}{|v|}$ ; θ 是钝角, $u{\text{proj}}_v$ 有长度 $\text{-}|\text{u}|\text{cos}\theta$ 和方向 $-\frac{v}{|v|}$

把一个向量写成正交向量的和

在研究一个质点沿平面上(或空间中)的一个路径的运动时, 加速度向量就可以写成它的切向分量和法向分量之和.

从图中可以看到对向量 u 和 v 而言, 从上图可以看到 $\text{u-}{\text{proj}}_{v}u$ 正交于投影向量 $u{\text{proj}}_v$, 于是 $\text{u =}{\text{proj}}_v\text{u + (u -}{\text{proj}}_v\text{u)}$ , 就把 u 表示成了正交向量的和.(完)

「予人玫瑰, 手留余香」

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