干货| 台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记7 -- The VC Dimension

台大机器学习课程学习笔记7

The VC Dimension

前几节课着重介绍了机器能够学习的条件并做了详细的推导和解释。

机器能够学习必须满足两个条件：

• 假设空间H的Size M是有限的，即当N足够大的时候，那么对于假设空间中任意一个假设g，。

• 利用算法A从假设空间H中，挑选一个g，使，则

这两个条件，正好对应着test和trian两个过程。train的目的是使损失期望；test的目的是使将算法用到新的样本时的损失期望也尽可能小，即

正因为如此，上次课引入了break point，并推导出只要break point存在，则M有上界，一定存在。

本次笔记主要介绍VC Dimension的概念。同时也是总结VC Dimension与，，Model Complexity Penalty（下面会讲到）的关系。

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  Definition of VC Dimension

首先，我们知道如果一个假设空间H有break point k，那么它的成长函数是有界的，它的上界称为Bound function。

根据数学归纳法，Bound function也是有界的，且上界为。从下面的表格可以看出，N(k−1)比B(N,k)松弛很多。

则根据上一节课的推导，VC bound就可以转换为：

下面介绍一个新的名词：VC Dimension。

VC Dimension就是某假设集H能够shatter的最多inputs的个数，即最大完全正确的分类能力。（注意，只要存在一种分布的inputs能够正确分类也满足）。

shatter的英文意思是“粉碎”，也就是说对于inputs的所有情况都能列举出来。例如对N个输入，如果能够将种情况都列出来，则称该N个输入能够被假设集H shatter。

根据之前break point的定义：假设集不能被shatter任何分布类型的inputs的最少个数。则VC Dimension等于break point的个数减一。

现在，我们回顾一下之前介绍的四种例子，它们对应的VC Dimension是多少：

用代替k，那么VC bound的问题也就转换为与和N相关了。同时，如果一个假设集H的确定了，则就能满足机器能够学习的第一个条件，与算法、样本数据分布和目标函数都没有关系。

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   VC Dimension of Perceptrons

回顾一下我们之前介绍的2D下的PLA算法，已知Perceptrons的k=4，即=3。

根据VC Bound理论，当N足够大的时候，如果找到一个g，使，那么就能证明PLA是可以学习的。

这是在2D情况下，那如果是多维的Perceptron，它对应的又等于多少呢？

已知在1D Perceptron，=2，在2D Perceptrons，=3，那么我们有如下假设：=d+1，其中d为维数。要证明的话，只需分两步证明：

首先证明第一个不等式：≥d+1。

在d维里，我们只要找到某一类的d+1个inputs可以被shatter的话，那么必然得到≥d+1。

所以，我们有意构造一个d维的矩阵X能够被shatter就行。X是d维的，有d+1个inputs，每个inputs加上第零个维度的常数项1，得到X的矩阵：

矩阵中，每一行代表一个inputs，每个inputs是d+1维的，共有d+1个inputs。这里构造的X很明显是可逆的。

shatter的本质是假设空间H对X的所有情况的判断都是对的，即总能找到权重W，满足X∗W=y，。由于这里我们构造的矩阵X的逆矩阵存在，那么d维的所有inputs都能被shatter，也就证明了第一个不等式。

然后证明第二个不等式：。

在d维里，如果对于任何的d+2个inputs，一定不能被shatter，则不等式成立。我们构造一个任意的矩阵X，其包含d+2个inputs，该矩阵有d+1列，d+2行。这d+2个向量的某一列一定可以被另外d+1个向量线性表示，例如对于向量，可表示为： 

转自：机器学习算法与自然语言处理