一个直观而复杂的难题：追求“极小”

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一个直观而复杂的难题：追求“极小”

2019 年 3 月 25 日 中科院物理所

本文经「原理」（微信公众号：principia1687）授权转载，

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1. 美丽泡泡带来的数学难题

平面上两点之间的最短路径是什么？

一条直线。

○ 平面上两点A和B之间的最短路径是一条直线，任何其他路径都显然更长。| 图片来源：[1]

大多数人都会认为这自然是理所当然的，否则还能是什么呢？我们也可以用严格的数学来证明事实确实如此。对于两点之间的任意一条连接路径，都有一个能给出路径长度的公式（如果你懂微积分，会知道这个公式是一个积分）。通过一些代数步骤，你就能通过求出那个公式的最小值而找到最短路径。这种证明属于变分法。变分法属于数学的一个分支，它是关于在给定条件下求一些量的极值的方法。

如果我们将问题上升一个维度，类似的问题就会引领我们进入肥皂泡的美丽世界。

肥皂泡有着完美的形状，而且泡沫薄膜前后表面所反射的光线会相互干涉，从而形成五彩斑斓的颜色。肥皂泡在数学世界中也是美丽的，因为它们是极小曲面的绝佳例子。当泡沫内部封闭的空气体积固定时，那么薄膜表面的张力会最小化，从而将肥皂泡拉拽成在给定体积下具有极小曲面的形状，这种形状就是完美的球形。

如果我们拿一个小圆环在肥皂水里蘸一下，就会看到在圆环中有一层肥皂薄膜形成，这层形成于圆环内的薄膜有着尽可能小的面积。你可能会以为这层薄膜具有各种各样的形状，比如说它包含一些凸起，但实际上它就是一个平面，因为这样才能使面积、表面张力和能量都最小化——大自然喜欢简约。

这给数学家带来了一个巨大的难题：找到平面上两点之间的最短路径可能还算比较容易，但我们也能找到一个框架内的最小面积曲面吗？事实上，极小曲面不仅仅是形成于大的框架内的曲面，而且它本身就是由许多小的极小曲面构成的。

寻找极小曲面是一个极其困难的问题。直到19世纪，人们只知道三种极小曲面：平面、悬链面和螺旋面。

○ 悬链面。| 图片来源：Soapbubble.dk

○ 螺旋面可视作是螺旋线的立体版本。| 图片来源：The Exploratorium

2. 追求极小

数学家凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）是2019年阿贝尔奖的获得者，她是阿贝尔奖设立16年以来的第一位获奖的女性。1966年，乌伦贝克获得了博士学位，论文是关于“变分法与全局分析”。当她在上世纪70年代遇到乔纳森·萨克斯（Jonathan Sacks）之后，她的注意力就转向了对极小曲面的研究。乌伦贝克在2018年的一次采访中说：“我对极小曲面了解不多，但我们会一起讨论，然后一起工作。他带来了有关于极小曲面的知识，我带来了这项研究的主要想法。”

通过能量来定义极小曲面是一种比面积更容易处理的方法。正如两点之间的路径长度可以用积分来描述一样，一个曲面的能量也可以。要做的就是找到一个使能量公式最小化的曲面。

当要处理的只有路径时，问题会相对简单。因为不同的路径会汇聚，逐渐越靠越近，直到最终收敛到一个极限路径。

○ 蓝色路径收敛到红色路径的示意图。我们可以想象无限多条蓝色路径越来越接近那条红色路径。| 图片来源：[1]

能量的概念与收敛密切相关：如果在A、B两点之间的平滑路径的集合中，每一条路径的能量都小于一个界值，那么你就可以确定在这个集合中包含一系列路径，它们会收敛到A、B两点之间的一条连续的极限路径。由于首要问题是从连接A、B两点的无限多条路径中找到最短路径，所以这种紧性（因为存在极限所以称为紧性）结果很重要。

然而，当问题上升到曲面时，能量并不足以给出类似的结果。问题在于一个曲面就可以用很多方法来描述。举个不那么恰当的例子，我们来想象一个看起来像是变形了的球的曲面，比如一个表面坑坑洼洼的土豆，亦或者是一个瘪了的足球。

○ 如果土豆上的每个点x都与球面上的一个点相关联，那么球面就可以作为土豆表面的一个映射。然而，如何将这些点联系起来有许多不同的选择，所以也就有许多不同的映射。| 图片来源：[1]

要处理这样一个曲面，你或许可以构建一个从球面到这个曲面的映射：球面上的每个点都与这个变形的球面上的每个点一一对应。这正是我们用一个球形地球仪上的地图来表示并非完美球形的地球时所做的事。但是关于球面上的哪一个点与曲面上的哪一个点对应可以有许多不同的选择，所以映射也有许多种不同的选择。

3. 扰动能量

在乌伦贝克和萨克斯的数学世界中，三维空间中的曲面（或任何其他流形）也是由某些类型的映射描述的。在这种情况下，一个曲面的能量公式并不一定与使用的映射类型有关，特别是它与距离尺度也无关。然而，对于一系列映射而言，尺度可能非常重要：它或许会打乱映射的收敛性，从而让我们无法得到需要用来证明极小曲面存在的那种紧性结果。

乌伦贝克和萨克斯找到了一个巧妙的方法来解决这个问题。他们修改了曲面能量通常的表达式，从而得到了一些略微不同的表达式。这些新的表达式能够表现尺度的影响，从而可以用来证明紧性结果。这意味着对于每一个略微不同的表达式，我们都可以找到一个有意义的极小映射。我们可以构建一系列略微不同的能量表达式，它们会收敛到最初的能量表达式。每一个略微不同的表达式都有自己的极小映射，所以接下来的想法就是去检查，与最初的能量表达式相比，这些极小映射是否会收敛到任何有意义的结果。

乌伦贝克和萨克斯证明，它们确实会收敛到有意义的结果，至少在大多数情况下如此。在球面上的一些点处，这一系列极小映射可能不会收敛，但这样的点只能有有限多个，而且我们仍然有可能描述这些奇怪的点：在这些点周围的小区域内调整映射的尺度，你会发现这些区域膨胀成映射描述的那些曲面上的“泡泡”。

○ 从曲面M到N的映射。围绕着一个奇怪的点周围的小区域膨胀成了泡泡。| 图片来源：Notices of the American Mathematical Society

调整尺度就是乌伦贝克所说的“主要想法”，这个想法使得乌伦贝克和萨克斯能够证明关于极小曲面存在的重要结果。它在其他许多问题中也有应用。乌伦贝克说：“许多问题完全是几何的（不关心尺度）。如果你有一个寻找度量的问题，而又不知何故不存在固有的外部尺度，那么事实上你可以改变那个尺度。”

4 超越肥皂泡

极小曲面的数学研究具有深远的意义，乌伦贝克与萨克斯在这方面的贡献为后来许多的重大进展奠定了基础，它甚至涉及到物理学领域，远远超出了肥皂泡的问题：物理学家尝试构造一个万有理论，不仅描述我们能够看到的现象，也可以解释我们永远无法体验到的非常小和非常大的尺度的世界。

这其中所涉及的概念远并不会像肥皂泡那样直观，但极小曲面理论与规范理论所描述的量子物理学之间，存在数学上的相似之处。乌伦贝克说：“一个强大的数学事实是，直觉和技术可以在极小曲面理论与规范理论之间来回传递。”

受已故数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）的启发，在20世纪70年代末，乌伦贝克将注意力转向了支撑我们理解粒子物理学的理论——杨-米尔斯理论。当物理学家正为其中的数学所扰时，乌伦贝克从严谨的数学角度开创了杨-米尔斯尔方程的研究，在这个过程中，她发现了气泡现象和紧性的概念。她在这一领域的工作为后来的规范理论的所有工作奠定了基础。她受到物理学问题的启发，展开了对瞬子的研究，最终彻底改变了纯数学领域。

乌伦贝克深信，数学中有很多不同的方面，她非常希望能看到这些不同方面之间的联系。她对那些与其他领域相关的数学非常感兴趣，而她所建立起的联系也收获了阿贝尔奖的肯定。

编译：乌鸦少年

参考链接：

[1] https://plus.maths.org/content/abel-prize-2019

[2] http://www.abelprize.no/c73996/binfil/download.php?tid=74160

来源：原理

编辑：Shiny