吴文俊：数学的抽象与数学的应用

2018 年 7 月 16 日 算法与数学之美

数学，这一门可以称之为基础科学中的基础学科，已经越来越渗透到各个领域，成为各种科学、生产建设以至日常生活所不可缺少的有力武器。另一面，近代的数学越来越抽象，往往使专门家也难免望而却步。这种应用上的广泛性与形式上的抽象性，使数学具有两重性格。表面上看来，这好象不相调和，实质上却是相反相成的。正是应用上的需要，促成了数学的进一步抽象化，也正是数学的高度抽象，使数学的应用日见广泛。

先说数学的应用。恩格斯在《自然辩证法》中，曾经总结过当时数学的应用： “在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中＝○。”（《自然辩证法》第249页）一百多年来，数学应用的面貌又起了很大的变化。不仅理论物理和数学各领域都有着互相推动的密切关系，在化学中也往往要用到数学中较深的部分。甚至在当时应用＝○的生物学，也已迥异往昔，出现了数学生物学这样的名称，并有了几种专门刊物。不少数学家认为，数学对生物科学将有意想不到的应用，反过来生命现象的研究也将对数学提出崭新的课题。也有人认为，到下一世纪，生物学与数学间的密切关系，将与几百年来物理学与数学的关系那样，互相提携，互相促进。同样，数学也进入了社会科学。总之，科学已越来越依靠数学，科学技术的现代化也决离不开数学。这正如马克思认为的，一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

数学在应用上之所以具有这样大的威力，决不仅仅因为它提供了计量与运算的有力工具。马克思说过：“分析经济形式，既不能用显微镜，也不能用化学试剂。二者都必须用抽象力来代替。”（《马克思恩格斯选集》第2卷第206页）数学就往往通过所谓数学模型提供这种抽象的力量。它排除事物中不必要的因素，直接反映事物的根本所在，揭示事物的主要矛盾与各种矛盾间的相互制约关系，因此节约了脑力劳动，并往往导致新理论、新概念与新原理的产生，也由此开辟了更广阔的应用途径。

数学归根结底来源于生产实践。数学，研究现实世界中的数量关系与空间形式。所谓数与形这两个基本概念，就都是从现实世界中抽象得来的。人们在生活实践中通过搬弄手指、结绳记事等多少世纪无数次的重复劳动，才能逐渐摆脱具体的事物而提炼出数目这样的概念来，从具体计数抽象出数目概念，是认识上的一种飞跃。同样，也要对各种形状的物体，通过多少世代无数次的反复观察、比较与使用、改造，才能逐渐摆脱具体的物体而抽象出形的概念，出现认识上的飞跃。

生产的发展，促使了数目概念的进一步抽象与发展。例如我国从殷周以来奴隶的使用动辄成千上万，这就提出了如何用一种简单的办法来记录任意大整数的要求，由此产生了进位与位值一类概念与相应的记数方法。特别需要一提的是位值的概念，它使得只需用代表从一到九以及用空位（或用方块、圆圈或一点）等很少几个符号来表达任意大的整数，这种位值的原理与方法是数的概念继整数以后进一步抽象的结果，也是认识上的又一次飞跃。位值原理的出现是世界文化史上的一件大事。

社会的发展与生产力的提高，不断地对数学提出了更高的要求。由此，数的概念也随着有不断的抽象与演变。继整数与大数表示法及其运算规律之后，又陆续出现了分数、小数、正负数、实数、未知数、文字数、变数、以及表示数量依存制约关系的函数等概念和它们之间的各种运算规律。现代已出现了专门从事带有某些运算更广意义下数的集体，象群、环等研究的学门，如抽象代数学及其有关分支。随着计算工具的发展，现代化的电子计算机的出现，使大量数字计算变得越来越轻而易举。数学正通过数量关系对现代生产发挥着无可估量的作用。

不仅如此，甚至一些表面上不明确的概念也可以给以一定的数量估计而进入数学的范围。例如，某些事物出现与否的可能性，是一个笼统的经验性概念。由于现代对于可能的程度作出了数值估计，给以科学处理，因而发展成了概率论这样一个学门，成为应用极其广泛的统计学的理论基础。同样，量度是产生数学的一种最基本的生产活动，而量度总是无法十分精确的，甚至可以是模糊不清的。但模糊也有不同程度之分，其程度也可以用数量来刻划。因此，除了很早就有涉及误差估计的计算数学外，这几年又出现了模糊数学这一崭新的学科。这种原来非数值的区域，由于数值化、定量化而通过数量关系成为数学新的分支，还可以举出其它例子，且正在方兴未艾之中。

与数的概念相仿，形的概念也有一个漫长而复杂的抽象演变过程。人类最早就注意到的，是形的大小方圆，由此，出现了所谓度量几何学或初等几何学。此后，又继续注意到形的平直、光滑、连续、断裂，从而形成了各种几何学的分支：画法几何，投影几何，微分几何，拓扑学等等。数与形这两个基本概念的不断抽象化与深化，不仅使数学这一科学蔚为大成，而且使数学的应用越来越广泛和深入了。

特别应该一提的是形数这两个基本概念通过形的量度而达到的统一。这里所说的量度是广义的，意指图形大小、形状等的数值化，由此得以系统运用数量关系方面较成熟也容易得多的数学工具。这种方法可以称之为几何学的代数化。它使几何学的研究得以摆脱古希腊那种天才式的艰难推理，化神奇为平淡，变得平易近人而“省功数倍”。它为解析几何的产生铺平了道路。而且，与几何代数化相伴而生的未知数，以文字代替具体数字这一类抽象概念的引入，以及多项式概念及其运算规律的发明，乃是近代代数学的最早起源。有些数学史家称这种几何代数化方法为“代数几何学”。而具有近代名称的代数几何学，则是当代数学中最活跃的分支之一，虽然与前者内容已大相迳庭，但其来源多少可追溯到当时。

在现代，工农业生产水平的空前提高，计算机与自动化的出现，使科学的发展一日千里，数学作为一种抽象的力量，重要性也更为显著了。有些科学家认为，数学在物理学与生物学上的应用，主要不在于作为计算的工具，而在于它独具的抽象能力。一些向来被认为较抽象、与实际距离较远的数学分支，如抽象代数、拓扑学、泛函分析等，也不仅在科学，而且在工程技术、通讯控制、统筹规划等大量社会主义建设的问题中日益起着直接而有效的作用。　　正因为我们应十分重视抽象的作用，也就不能不指出，我们所说的抽象，必须是正确的，郑重的，必要的，有着现实根据的抽象，也就是列宁所说的科学的抽象。数学中的数与形以及上面提到的种种抽象，就象物理学中质量与能量概念的抽象，经济学中价值概念的抽象，就都属于这种科学的抽象。这些概念尽管以极度抽象的形式出现，其起源却都来自生产实践，它们的原始材料都是非常现实的。抽象往往来自应用的需要，抽象的合理得当与否，通过后来的大量新的应用，在实践中可以获得印证。

总结过去，分析现在，可以展望将来。在历史上，我国的古代数学一直遵循着抽象与应用辩证统一的道路不断发展，在世界上一直占有领先的地位，发明创造，世代有之。举例来说，位值的原理与方法就是我国的独特创造，而且是世界古代任一其它民族所没有的。又如在西汉初年成书的九章算术中即有从农业生产与商业买卖抽象提高出来的正负数概念及其在解线性联立方程组上的应用。在汉代正负数还被用之于历法的修订。作为近世代数学先驱的未知数、文字数、多项式等概念也都首先为我国宋、元时代所明确引入。当时发展起来的所谓天元术等，曾具体应用于治河的工程计算等生产实践。

不仅如此，我国古代在几何学上的成就也极为辉煌，既有丰硕的成果，又有系统的理论。从地亩丈量出发，抽象出出入相补这一简单易明的一般原理，并进而应用之于面积、体积、勾股测望，以至开平立方、解方程，甚至数论等形形色色意想不到的问题。从球体积的计算，又抽象提高到所谓祖日恒原理。这一原理在相隔一千多年后，在欧洲以卡瓦利里原理的形式重新出现，成为微积分得以创立的重要关键之一。最早在宋元时期出现的几何代数化，更使几何学从此面目一新。这些实例说明，我们中华民族不仅重视实际，重视应用，而且有着高度的抽象概括能力，是一个善于在深入广泛的实践基础上往高里提，善于抽象思维的民族。

但是，我国千百年来数学蓬勃发展的雄伟步伐，却在西方经过工业革命，资本主义制度取代封建制度的时候，在数学进入变量的关键时代，戛然而止，在解析几何与微积分的大门前停顿了下来。几百年的停顿，使我国的数学大大落后于时代。虽然解放以来，在党和毛主席的亲切关怀下，广大科学工作者奋发图强，急起直追，做出了一些优异的数学成果，但总的说来，与国际水平仍有差距。特别是近年来由于“四人帮”的干扰破坏，我们与国际水平的差距拉大了。我们要正视现实，遵照古为今用、洋为中用的方针，虚心学习，刻苦钻研，努力赶超世界先进水平。

在英明领袖华主席和党中央的亲切关怀下，在全国科学大会精神的鼓舞下，当前，我国科技界正在掀起一个为实现四个现代化向科学进军的热潮。四个现代化将为数学所特具的抽象思维提供无穷源泉与广阔的用武之地。我们决心以毛泽东思想为锐利武器，加快数学研究的步伐，使我国的数学不断发展，达到一个史无前例的高峰，为把我国建设成为社会主义的现代化强国作出贡献。