【不可能的数字:复数】- 图解不可不知的数学知识

注: 文末有赠送量子学派出品《人类最美的54个公式》课程活动

|   遇见数学   |

复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久, 一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary), 直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动, 才被数学家们渐渐接受.

确实理解复数确实需要一点时间, 不过它并不复杂, 而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形, 这次让我们用图形可视化的方式来拥抱这个概念.

复数, 作为实数理论的延伸

先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这 4 种运算. 观察到红蓝两个点(数), 在不同的计算下, 其结果(绿点)的变化, 不管数怎样变化, 都总还落在数轴上(除法分母为 0 时候, 当然没有意义).

再来看下图中, 任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上. 所以乘以 -1 的计算可以理解为该点(数)绕着原点旋转了半圈.

数学家进一步思考, 既然乘以 -1 是转动 180°, 那么只转动了 90° (比如整数 1 )落在哪里? 有什么意义呢?

进入新的二维复数平面

这是19世纪数学史上非常重要的一步, 现在不在是在一维的实数轴上, 而是进入了二维的复平面.

考虑到转动两个 90° 会刚好到 -1. 所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转(也就是 1*i*i=-1), 这样在平面上与实数轴垂直的单位线段, 称为是 1 个虚数单位 i . 于是有着性质:

这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane, 或称为阿尔冈平面)上了, 所有在复平面上的数都满足 z=a+b i 这样的结构, 称之为复数. 其中a 称为实部(real part), b 为虚部(imaginary part). 如下图 1+2i 复数,  1 和 2 是实数, i 是虚数单位, 这样的复平面几何表示如下图所示:

现在来看直角坐标平面是二维的, 需要两个数(x,y)来描述任意一点的位置, 但现在用一个复数就够了, 可以用实数组(a,b)代表这个复数, 并且可以在复平面上绘制出来. 不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数, 而不是一对实数.

还有三个新概念需要知晓:

• 复数的模(modulus, 通常写为 |z|)

• 辐角(argument, 通常写为 arg(z))

• 复数的共轭(conjugate,通常写为 ¯z)

  z ¯

复数的模就是它长度 r: 从原点到 z 点之间的距离. 辐角 φ 就是与实轴的夹角, 共轭就是 a-b i 的形式. 观察下图可以更好理解:

复数的运算操作

复数有如何运算, 比如可以两两相加, 也就是两个复数实部和虚部分别对应相加, 可以看成是平移的操作.

复数也可以有数乘运算, 就是对模的放大或缩小了:

复数的乘法, 就如上面所述, 数乘以 i 相当于这个转动 90°:

z1*z2 两个复数相乘其实就是旋转+伸缩两种变换, 也就是两个复数的模相乘(伸缩大小), 辐角相加(旋转量).

如果对图片中的每一点做复数运算的变换, 可以得到各种有趣的平面变换图像. 这里为了纪念欧拉大神, 就以他老人家头像为例, 比如做乘以 2 i 的函数变换 - 旋转 90°, 同时放大了2 倍的变换; 另一个变换函数为三次方, 你也可以思考为什么会变成这个形状呢? :-)　

最美的数学公式 - 欧拉公式

复平面内的点可以转成极坐标(不清楚可查看这里)的形式 (r,θ), 那么该点所表示的复数是什么呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 来转化到笛卡尔坐标. 所以极坐标 (r, θ) 表示复数
z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ).

特别的, 如果 r = 1, 则 z = cos(θ) + i sin(θ).

形如 r e^(i θ) 的复数为极坐标形式, 并且与之相对的 x+iy 为笛卡尔形式. 1743 年, 瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式, 对所有实数 θ 都成立:

特别当 θ=π 时，欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式:

这个简洁公式包括了 5 个数学上最重要的常数: 0, 1(自然数的基本单位), e(描述变化率的自然指数), π 以及 i(虚数的基本单位).

我们可以很快用几何的方法来证明该等式, 观察下图不同的 θ 值对应的极坐标 e^θ, 请留意动画停顿之处(特别是在复平面旋转角度为 180°, 点落到等于 -1 的时刻), 相信就会理解上面的欧拉等式:

关于复数, 还可以进一步查看这里《文化脉络中的数学》- 【从复数开始的科技文明】部分, 相信会有更多的收获.

参考资料:

• https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

• 《普林斯顿微积分读本》(修订版)

• 维基百科
  

[遇见数学] 出品

本次小编分享出 9 个由量子学派出品的《人类最美的54个公式》听课名额送给关注 [遇见数学] 的朋友们. 参与规则: 聊聊你对复数(或者其他数学概念也行)的感觉, 后台评论精选点赞前 9 名获取奖品, 截止日期 11.13 日 15:00 分截止. 

「予人玫瑰, 手留余香」

转发既是支持和帮助, 感谢感谢!