【方向导数, 梯度向量和切平面】图解高等数学 -下 12

11.5 方向导数, 梯度向量和切平面

根据链式求导法则可知, 如果 f(x,y) 是可微的,则 f 沿曲线 x=g(t), y=h(t) 对于 t 的变化率是下面式子:

上面式子 f 对于 t增量的变化率依赖于沿曲线运动的方向.

方向导数的解释

函数 z=f(x,y) 表示空间曲面 S. 则点 $\text{P(}{x}_0\text{,}{y}_0,z_0)$ 在 S 上. 过点 P 和 $P_0$ 的 u 方向的垂直平面交 S 与曲线 C. f 沿方向 u 的变化率是 C 在点 P 的切线的斜率. 观察下面动画:

方向导数推广了两个偏导数, 现在可以求沿任何方向的变化率了.

计算

一个更有效的计算 f 在 $P_0$方向 u 的方向导数的公式,就是 u 与 f 在 $P_0$ 梯度的点击.

方向导数的性质

根据上式, 当 $\text{cos}\theta \text{=1}$ 时, u 与 [Del]f 同方向时, 函数 f 增加最快, 类似, 反方向减少最快. 而正交于梯度的方式 u 是 f 变化率为 0 的方向, 此时 [Theta]=pi/2.

函数 $\text{f(x) =}\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$ 在 (1,1) 增加最快的方向梯度的方向, 它对应于在点 (1,1,1) 在曲面上最陡峭的方向.

梯度和等高线的切线

函数 f(x,y) 的定义域的每个点 $(x_0,y_0)$, f 的梯度正交于过 $(x_0,y_0)$ 的等高线.

创建互动等高线，把法线显示为一个点：

增量和距离

f 沿方向 u 的变化有多少, 如从点 $P_0$ 沿 u 移动一点点距离 ds , f 的值变化多少等于方向导数乘以ds .

三元函数

现在再看三元可微函数 f(x,y,z), 与之对应的单位向量 $\text{,FontWeight-}>\text{Bold,FontSlant-}>\text{Plain]}\setminus \text{)=}⟨u_1,u_2,u_3⟩\setminus \text{!}\setminus \text{(}\setminus \text{*StyleBox[}u$. 则

切平面和法线

三元可微函数 f(x,y,z) 的梯度向量满足二元函数梯度的所有性质.

观察下面 "-17+x+2 y+4 z=0" 的等位面上的切平面动画:

(完)

「予人玫瑰, 手留余香」

转发既是支持, 我们会努力走得更远!