极坐标系下的奇妙曲线图像

翻译小组成员介绍: 劉雄威

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大多数人都熟悉笛卡尔坐标系，它将平面上的每个点  指定给两个坐标。要查找  需从起点  开始，沿横轴走  个单位距离和沿纵轴走  个单位距离(见下左图)。



但还有另一种坐标系也非常好，它用于飞机的定位。对于每个点  分配一个数对 ，其中  是原点  沿直线到  的距离，  是从  轴的正半轴逆时针旋转至原点与  点所连成的径向线所夹的角度。

这些新坐标称为极坐标，之所以这么命名，是因为我们将轴的交叉点视为所有事物从中辐射出来的极点（见上图）。

如何在极坐标系中表示出简单的图形?从上面的交互性可以看出，以  为端点的射线图形由  值唯一确定，例如，  轴的正半轴由以下方程表示

以及夹于 轴的正半轴和 轴的正半轴中间位置的射线由以下方程表示

一般来说，方程

描述以  为端点，与  正轴的夹角为  的射线。

那么如何用极坐标系来表示圆形呢?我们知道以  为圆心、  为半径的圆，其所有点都落在距离(0,0)有  个单位的位置上。因此，我们可以用以下方程来描述极坐标系中的圆

此表达式比笛卡尔坐标系中的圆的方程简单得多，即

然而描述不穿过点 的直线和不以  为圆心的圆的极坐标方程比其笛卡尔坐标方程复杂。但也有一些图形，其表达式使用极坐标方程比使用笛卡尔坐标方程要简单得多。以下是我们最喜欢的三个例子。

▌阿基米德螺旋(Archimedean spirals)
让我们来画出这个极坐标  对应方程的图像

换句话说，我们要寻找的是满足极坐标为  的所有点，以观察它所形成的图像是什么样的。

下图表示当  值从  变化到 2 时对应的图像。在图像上每个点的极坐标皆为 ，可以看出随着  值的"增加"，点的位置也逐渐远离 。

于是我们有了一个螺旋的雏形!

但为什么要停在  呢?我们可以继续转动径向线使图像超过一个整圈()、转过一圈半()、两圈()，以此不断增加一圈又一圈。然后，我们便可看到随着图像从  转动到 ，点  到原点  的距离会逐渐增加，从  到 ，让  从  增加到 ，则可以看到图像上的点距离原点越来越远。下图表示了  从  到  的图像。

使  一直增加到无穷大，会得到一个以  为中心的无数圈的螺旋：
这个美妙的形状被称为阿基米德螺旋，以伟大的希腊数学家阿基米德的名字命名，他在公元前三世纪发现了它。从图片中可以看出，螺旋的循环间隔均匀：如果以 为端点画一条射线（即径向线），则可以看到螺旋上的任意两个连续交点之间的距离始终为 。
还有其他类型的阿基米德螺旋，其特征是螺旋与径向线的连续交点之间的间隔始终相等。它们可以归纳为以下方程

其中  为正实数。使  值不断变化，您便可以看出， 值决定了螺旋的紧密程度，因此， 值也决定了螺旋与径向线的连续交点之间的间隔。下图为  由  降到  的对应图像。


如果您更喜欢物理解释，那么当您追踪从中心向外出发且以恒定角速度移动的点的路径时，您也会得到阿基米德螺旋。

▌对数螺旋(Logarithmic spirals)
现在，让我们来看看下述方程的图像

其中  是自然常数，
当  时，我们得到

因此，我们的形状包含具有极坐标的点  (其笛卡尔坐标恰好也是 )。下图表示  值从  到  对应的图像。每个点  对应的坐标为 。这里我们再次看到了螺旋的雏形，但这次有所不同。

同样地，我们使  从  增加至 、等不断递增。然而，这一次螺旋的循环没有均匀地间隔。


这是对数螺旋的一个例子。它之所以称为对数螺旋，是因为其表达式

也可以表示为

其中ln是以自然常数e为底数的自然对数。

(还有一种更一般的对数螺旋形式，其表达式为  其中  和  都是正实数。)

但这里还有另一种玩法：我们可以令角度值  变成负数！要查找第二极坐标（即  坐标）为负值的点，您需要从  正轴开始朝另一个方向度量角度：即顺时针方向。例如，具有极坐标  的点位于  轴的负半轴。

这对于对数螺旋意味着什么?当  值从  到  变化时，图像上的螺旋线将以顺时针旋转一、二、三乃至无数圈。作螺旋线，其点  对应的坐标为

但现在随着  不断减小趋向 ，螺旋线也不断向内部移动，趋近于 ，这是因为

所以如果随着  减小且趋于 ，那么  会不断增大且趋于 ，所以 1是正值，且趋近于 。
下图显示了当  不断减小至  时，点  的变化情况。 

让  值从  变化 ，就会产生一个双向无限的螺旋，它既没有起点，也没有终点。



▲ 完全对数螺旋

但请注意。正如您从图像中所见，这张图片看起来和上面的图片的差不多，即使这里的  轴和  轴覆盖的范围要小得多。这表明了对数螺旋的一个非常有意思的特点。如果使对数螺旋的图片放大或缩小，那么你看到的图片将会看起来与放缩前完全一样，该特性称为自相似性。这可能是对数螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蜗牛壳的漩涡和许多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它们。

17世纪的数学家雅各布·伯努利被这个美丽的形状迷住了，他称之为"spiral mirabilis"(奇迹般的螺旋)，并要求把它刻在他的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”。不幸的是，雕刻师弄错了，他最终在他的坟墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是对数螺旋。

▌极地玫瑰
我们要介绍的最后一个图形，或者更确切地说，最后一组图形，让我们先从这个方程开始

( || 符号代表绝对值，因此  恒为正值)

要了解这个方程，让我们先复习一下正弦函数的图像，下图是横轴对应  值而纵轴对应  值时的图像变化情况：


加上绝对值意味着，图像中横轴以下的部分（该部分  为负值）应该翻折到横轴以上的位置：

您可以看到，当  从  升到  时， 从  上升到最大值  (在 处)，然后下降到  (在  处)。

现在，让我们回到极坐标。当  从  变化到  时，原点  到点 

 (在  处)变化到  (在  处)，然后回到  (在  处)，这将在极坐标系的上半平面画出一个小圆圈。然后，当  从  变化到  时， 值也跟上述变化相同，这将在极坐标系的下半平面画出一个小圆圈。


现在，让游戏变得复杂些，并观察这个方程

新的因数  意味着上述图中的出现的两个圆圈的范围从  到  变成现在只出现在  到 。即两个圆圈都出现在上半平面上，因此变得有点拥挤。当 从  移动到  时， 的值也从  变到 ，函数的值是周期性的(  具有与  相同的函数值)，现在我们一对圆圈的镜像也出现在下半平面中：



我们有一朵有四瓣的花! 那么下面这个方程会发生什么

 是任意正整数，图像会怎样?
你猜对了！奖励一朵  瓣的花，下面我们向您展示  和  的情形。极坐标所能做的事真是令人惊奇！(- End -)