如何理解 n 维空间和 n 维时空

2017 年 10 月 17 日 CocoaChina

作者|一缕殇流化隐半边冰霜

前言

一定有朋友好奇为何笔者会突然发这样一篇看似和技术完全不相干的文章出来。其实这块内容也是笔者在研究时空搜索的时候引申出来的内容。看了一些资料，加深了对 n 维空间和 n 维时空的理解，就总结了一下。如果是对这方面完全没有接触的朋友一开始看一定会觉得陌生，如果是数学专业或者专业就是这方向的朋友，文章如有错误，欢迎提出来一起讨论。

空间和时空

首先空间和时空是常常会被混淆的两个概念。其实他们两者不同。

爱因斯坦的广义相对论里面提到过四维空间，讲的是三维空间加一维时间。这个并不是数学里面的多维空间的概念。实际上，时间维是独立于空间维的。一维空间也可以有时间，二维空间也有时间。多维空间都有时间。但是广义相对论里面提到的四维空间实际上是三维空间加上一维时间组成的四维时空。

黎曼几何之后的高维几何发展了很多年，在超弦理论里宇宙的空间是九维空间加一维时间。而在 M 理论里，宇宙是十维空间加一维时间的十一维时空。

如何描述高维空间的划分

在二维的空间中，两条垂直相交的直线，可以构成 X 轴和 Y 轴。在三维的空间中，三条相互垂直相交的指向，构成了 X 轴，Y轴和 Z 轴。第三条直线穿过二维空间中交点(即原点)，并且垂直于二维空间。同理，在四维空间中，同样会有一条直线，穿过这三维空间的三条直线的交叉点(三维坐标轴的原点)，并垂直于前面三条直线。四维空间中垂直于三维空间的这条线，是无法在三维空间中表示出来的，也无法画出来。这条线位于坐标原点内部的四维空间中。

那么四维空间如何形象的和三维空间产生联系呢？毕竟三维空间是我们人类最最熟悉的空间结构。我们知道三维空间有 X 轴，Y轴，Z轴，那么它们三条轴线能把整个空间分为6个面，上下，左右，前后。那四维空间还能怎么划分空间呢？它比三维空间还多出了里外，两个方向。里面的上面，和外面的上面是不同的空间。虽然在三维空间中都是上面。

同理，我们将这些理论继续推广到高维空间中，那么一定存在一条线能垂直于 n-1条线，并且 n-1 条线也是相互垂直相交的。

以上就是通过空间划分的角度来描述多维空间。

高维空间事物的形态

在高维空间中，事物都是非常抽象的，可能无法用图形画出来，但是我们可以通过我们能理解的低维空间去理解高维，这就需要研究高维空间事物在低维空间的展现形态了。

在二维空间中，正三角形有三个顶点。并且假设边长都等于1。如果在空间中存在第四个点，能使得这个点到三个顶点的距离都等于1。那么这个点必定不存在在二维空间中，且一定存在于三维空间中(此处数学证明省略，太难了，感兴趣的同学可以证明一下)。如果在三维空间中把这四个点都连接起来，那么就可以构成一个三维的正四面体。

同理，如果有第五个点能和这个三维的正四面体距离都是1，那么这个点也一定存在于四维空间中，与三维的正四面体一起构成四维的超四面体。

超四面体已经超出了我们生活的维度了，所以我们无法在三维空间中画中它的形状。但是我们可以通过投影的方式来在三维空间中去观察它。

先来回顾一点三维的正四面体是怎么产生的。由于是等边三角形，所以等边三角形的垂心到三个顶点的距离一定是相等的。那么我们就把这个内心取出来，拉到三维空间中，直到距离其他三个顶点的距离为1。这样就生成了三维的正四面体。由垂心分割的内部三个钝角三角形跟随着垂心的，拉出去就会变成正四面体外面的3个面。

同理，在三维的正四面体的中，取出它的垂心。垂心与四个顶点的距离都相等。这个垂心就将正四面体在内部分割成了4个扁四面体。那么将垂心拉到四维空间中做第五个顶点的话，就会变成超四面体。内部分割的4个扁四面体也会进化成超四面体的四个外表面。

四维的超四面体是5个顶点，10条棱边，10个三角面，5个四面体构成的超体。用三维空间无法描述它。

正方体是我们常见的三维物体。那四维空间里面的立方体变成什么样子了呢？

上图就是四维空间里面的立方体，叫超立方体。

上图反映出四维方体每条边等长，也可以看出立方体如何互相连接的。构造一个超立方体的最简单的步骤就是把2个立方体的8个顶点都分别和另外一个超立方体的顶点连接起来。

上图揭示的是超立方体本质上是从结合2个立方体，连接对应顶点得来的。

上图按着每一顶点由最底一顶点出发沿着棱走的长度排列。如果我们是要将超正方体用作在并行计算中连接不同处理器网络拓扑基础，则这些图像会非常有用。在超正方体中任意两个顶点之间之间至多有4中不同的路程，并且这里有许多路径是等同的。超正方体还是一个二分图，就像正方形和立方体一样。

下面的两个图是透视投影图

上图是正八胞体绕着一个从左前到右后，从上到下切过图形的平面进行单旋转时的透视投影。

上图是正八胞体绕着两个在四维空间中互相正交的平面进行双旋转时的透视投影。

另外四维空间与以上的空间，属于高维模型。高维模型，也分数学与物理两个概念。

在数学上，多维有很多模型。理论上，维数可以很高。模型很多。但是满足交换不变性质的很少，所以，有人认为四维空间是物理上限。但是，也有人认为会有更高维数物理。去思考，有益智力，因为只受到数学条件约束。

在物理上，多维有很多模型。理论上，维数不可以很高。为了解释，宇宙整体的有限无边的性质，必须引入多维，一般是四维时空（一对相对组成性质），也有一些其它有限可数的维数，可能在物理上成立的模型不多。去思考难度很大，因为要受到物理现象的约束。

透视和穿墙术真的不存在么？

蚂蚁眼中的世界近乎是二维的，在它的眼里只有长度和宽度，而没有高度。任何三维的物体对于它来说都是一个“面”，它就会去爬。再或者是二维空间里，生活在清明上河图里的人，他们眼中的世界就只有杂乱无章的点线面，画中的人是无法对整幅画中的世界有一个完整的认识的。但是生活在三维空间的我们却可以一眼看到整个画中的世界。同理，处于三维空间里面的我们，看三维空间的物体，也是无法一眼看完的。比如眼前的高楼大厦，要想看完它的四周加上楼顶和楼底，我们无法一眼看完，需要围绕一圈才行。但是这些在四维空间里面，四维空间里面的生物看高楼其实一眼就能看到它是什么样子的。

于是可以得到一个也许不太正确的结论，低维空间不过是高维空间的表皮，因为低维空间是由高维空间中某个维度坍塌导致退化成了“皮”。

回想一下之前讲到的二维的等边三角形，三维的正四面体，四维的超四面体，低维不就是高维的皮么？处于高维看低维，一览无遗。

再比如素描中所说的“透视”，通过一些成像原理，能看到物体被遮挡的部位。当然不是真实的看见。如果是真实的看见，那么这个“透视”就是穿越了维度。

再说说西游记里面的孙悟空画圈保护唐僧，在二维空间里面，这个圈完全可以保护好唐僧，但是到了三维空间中，只需要轻轻的跳出这个圈子，就能摆脱悟空的束缚。在三维空间中想保护一个人，就需要用一个封闭的空间来把他关起来。但是这个人如果是四维空间的人，那么他也能很轻易的跳出这个四维空间。这就是三维空间里面的人无法理解“穿墙术”，但是四维空间里面的人却可以很轻松的做到。

变形金刚真的不存在么？

在我们生活的三维空间中，能不断的变化自己形态的生物不多。三维世界里面能像变形金刚那样变形的真的不多，尤其是能从内到外的变形。那么在高维空间的世界里，存在变形金刚这种事物么？

答案是同一维也许不多，但是跨空间维的有很多。

比如三维空间里面的一个立方体或者多面体，二维的事物是如何理解它们呢？

举一个双曲线的例子：

两个倒立的圆锥，顶对着顶放置。用一个平面去切割它们，三维物体在这个平面上留下的曲线，我们叫做圆锥曲线。当曲面切的方向不同也就可以形成不同的圆锥曲线，有圆形，有抛物线，有双曲线，有椭圆。

在二维的世界里，只能认识这几种不同的圆锥曲线。但是在三维的世界里，我们就能理解到这是两个圆锥。

上图也很明显的展示了高维空间里面的物体在平面上的切面不同，展示的形状也不同。

那我们扩展到四维空间，如果一个四维空间的物体，被三维空间不断的切面，在三维空间上留下的三维体，不就是会不断变化的么？

所以我们不能理解变形金刚是因为我们处于低维空间中，在高维物体被低维空间切割的时候，就会发生变形金刚的现象。

时间真的不能逆转么？

小时候经常会考虑这样一件时间，时光真的不能逆转么？破镜真的不能重圆么？想说明白这间事情，就必须先谈谈我们现在所在的四维时空。

在爱因斯坦的广义相对论中，谈到了四维时空，说的是三维空间加一维时间。人的一生就像是一条时间轴，从出生到老去。人在四维时空是是无法回到过去，回到小时候的。

那我们如何定义时空呢？

如何描述高维时空

在文章开始，我们用坐标轴的方式，以空间划分的方式对高维空间进行了划分，并且推广到了 n 维空间中。

这里我们换一个角度，从概率论的方式，从低维时空开始，推广到 n 维时空。

先看看一维空间，两个点就可以组成一条线。当无限多条线铺满一层的时候，就变成了二维空间。这么多条线就占满了所有的可能性。所以一维只有长度，没有宽度和高度(深度)。

在二维空间中，是一个个的面。当无数多个面铺满一个空间的时候，就会变成三维空间。这么多个面也就占满了空间所有的可能性。二维空间中也有了长度和宽度，没有高度(深度)。

三维空间这个大家都熟悉，就不再赘述了。三维空间里面的东西都具有长度，宽度和高度。

在四维时空中，比三维空间多了一维时间。还是用之前概率论的方式来定义四维时空，那么多了一维时间就是从物体的产生到最终淫灭的时候。对人来说就是一生。这一生的时间占满了人一生可以做的所有活动，代表了所有可能性。

这里存在一个平行宇宙的概念。在人一生这么长的时间中，会做出很多抉择，这些抉择会改变未来一生的发展。每个选择都有选择的可能性。如果有 n 个选择，就有 n 个结果。每个结果都往下发展就可能得到不同的人生。同一个时间轴就有可能同时对应的 n 种可能性。在游戏里面就相当于有 n 条主线，而每个游戏角色却只能选择其中的一条主线。