亚洲首获菲尔兹奖小平邦彦：围绕数学世界的学术交流

2018 年 3 月 15 日 遇见数学 图灵新知

数学乃是按照严密的逻辑而构成的清晰明确的学问。数学就是研究自然现象中数学现象的科学。

——小平邦彦

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小平邦彦（1915年3月16日－1997年7月26日）是日本数学家。以在代数几何和紧复解析曲面理论方面的出色工作而著名。他也是代数几何日本流派的奠基人，也是20世纪数学界的代表人物之一。他在1954年获得菲尔兹奖，是获此荣誉的首位日本人。他也是为数不多的同获菲尔兹奖和沃尔夫奖的数学家之一。

Weyl将菲尔兹奖授予小平邦彦。（图片来源：日本数学会）

1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《几何世界的邀请》等。

小平邦彦的主要贡献在代数几何和群论方面。他推广了代数几何的一条中心定理:黎曼一罗赫定理。还证明了狭义凯莱流形是代数流形和所谓小平邦彦消灭定理。1956年起他同斯潘塞一起，把黎曼的模数理论推广到高维复结构的变形理论，形成一个系统的理论。

小平邦彦又把它推广到由一类复可递的连续伪群所定义的结构的变形理论上。50年代末，他又转而研究紧复解析曲面的结构和分类，用一个不变量(小平维数)把曲面分为有理曲面、椭圆曲面、K 3曲面等，并且每类都建立一个极小模型，这对后来代数几何学和复解析几何学的发展起着重要推动作用。

晚年他致力于教育事业，对日本年轻一代数学家有重大影响，他的论文收集在1975年出版的三卷全集中。

本文及下面文章节选自《惰者集：数感与数学》, 均获人邮图灵授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!

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引

今年3月16日是日本最强数学家之一小平邦彦诞辰103周年. 这几天就让我们透过伊东俊太郎对他的采访, 让大家更好地了解小平邦彦本人对日本数学教育和学术交流的看法, 思考并学习.

日本的数学水平很高

伊东：1972 年，我在普林斯顿高等研究院与您有过一面之缘，至今已经过去了 3 年。您当时接受了来自普林斯顿大学斯宾塞（D.Spencer）教授的邀请，在当地度过了一段悠然自得的研究时光。同时您站在国际舞台之上，数学研究的成果可谓硕果累累。曾经有一段时间，您还被日本媒体称为“日本首位外流人才”。请问您最早出国从事研究工作是在什么时候呢？

小平：是在 1949 年。

伊东：目的地是？

小平：普林斯顿高等研究院。最早邀请我的是赫尔曼·外尔教授。我在高等研究院待了一年，接着去约翰斯·霍普金斯大学担任了一年的客座副教授。在那之后又重新回到普林斯顿，辗转在高等研究院和普林斯顿大学之间，一直待到了 1961 年。后来又在哈佛大学待了一年，在约翰斯·霍普金斯大学待了三年，在斯坦福大学待了两年以后回日本。总共在国外待了 18 年。

伊东：您在 1954 年的阿姆斯特丹国际数学家大会上获得了菲尔兹奖，菲尔兹奖被誉为数学领域的诺贝尔奖。能请您谈一谈获奖时的感受吗？

小平：并不是任何研究都有机会获得菲尔兹奖。当时我已经开始研究调和积分理论、复流形理论等，正因为我从事这些研究，所以才会获奖。这个奖项是有年龄限制的。

伊东：这听起来很有趣！

小平：国际数学家大会每四年召开一次，会上向做出杰出贡献的年轻数学家授予奖项，为了鼓励他们继续从事研究工作。所以年轻是必要条件。不过问题是年轻的界限在哪里呢？现在的规定是不超过 40 岁。曾经也有过修改年龄的提议，不过总觉得超过 40 岁就步入中年了，所以还是保留了原来的规定。

伊东：数学的话，是不是一般在 40 岁前都能做出一定成绩了呢？话说回来，我们在考虑国际交流时，如果是人文社科的话，也有很多人在国外从事相关工作，而且从语言的层面上来说，我们经常会遇到无法准确表达自己想法的情况，对我们来说，语言有时候会成为绊脚石。不过在自然科学领域，特别是数学，只要通过符号就能交流，这是不是一个优势呢？您是怎么认为的？

小平：这确实是一个非常大的优势。刚去美国的第一年，我完全不会说英语。

伊东：不会说英语也没什么关系吧！

小平：没什么关系。不过后来我开始讲课，因为英语发音不好，没有信心保证学生听得懂，所以就把所有内容都写在黑板上，结果这样反而便于学生理解，反响也还不错。不过学生对我的课的评价不是“不容易听懂”，而是“不容易看懂”。结果我指导的美国研究生模仿我的风格，明明英语很流利，却非要把所有内容都写成板书。

伊东：这倒是一个有趣的现象。您的上课风格深深影响了美国学生呢！看来数学或者说自然科学比较容易开展国际交流。而且与其他的自然科学相比，比如说与曾经领先世界的理论物理学相比，从事国际化工作的数学家更多。就以普林斯顿高等研究院为例，数学领域差不多有三四人，而且随时都有日本的年轻人在那里从事研究工作。理论物理学的话近几年都是每隔一年才会有一人，稍显落寞。而且纵观美国的大学，一些一流大学都能看到日本教授的身影，甚至还是代表性人物，颇具磅礴之势。比如说普林斯顿大学的岩泽教授、志村教授，哈佛大学的广中教授，约翰斯·霍普金斯大学的井草教授、伊利诺伊大学的竹内教授，耶鲁大学的玉河教授等，这些教授都在各自的学校大展拳脚。可以看出，日本人一直在数学领域从事着世界性的研究。这种现象很早就有，并且持续到现在。为什么日本人给人一种擅长数学的感觉呢？

小平：这是为什么呢？我们经常说实验物理学很费钱，不过理论物理学应该跟数学差不多才对。也许是我们适合研究数学？我也不太清楚。而且还有语言的问题，毕竟理论物理学与数学不同，必须展开讨论让他人信服，而数学的话只要完成证明就可以了。

伊东：日本的数学教育有没有什么优点？

小平：我倒不是这么认为的。虽然日本数学教育水平很高，但是我不知道这是好事还是坏事。这也很神奇，美国的数学教育水平相对较低，在我上学的那个年代，日本的教育水平也还不高。

伊东：不过在美国，很多孩子后来一下子突飞猛进。

小平：是的，还有人上大学后数学突然变好。

伊东：然后就会赶超日本的校园精英们。日本人的话好像从一开始就接受程度很高的数学教育，也许问题就出在这里。

《惰者集：数感与数学》

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作者者：小平邦彦

译者者：尤斌斌

出版社：人民邮电出版社图灵新知

出版年：2017年12月

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理解数学需要具备一种纯粹的感觉，即“数感”。本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。

第一章

数学笔记

数学印象

一位数学家的妄想

数学的奇妙

发明心理学与平面几何

学术交流——围绕数学世界

科学、技术与人类进步

第二章

长此以往，日本将陷入危险之境

忘却原则的初等、中等教育——为什么、为了谁如此着急 061

对“新数学”运动的批判

什么扭曲了数学教育

令人费解的日本数学教育

第三章

忆往昔

回顾与……

愈发难懂的数学

回忆普林斯顿

约翰斯•霍普金斯大学

赫尔曼•外尔老师

关于沃尔夫奖

数学是什么

第四章

来自普林斯顿的信件

写给21世纪的主人

数学是感觉性的学科

伊东：稍微换个话题，您最近在东京大学理学院的《宣传》上刊登了一篇非常有意思的随笔，题目叫作《一位数学家的妄想》（《惰者集》一书第 14 页）。在这篇随笔中，您从自身的体验解释了什么是数学，发人深省。您说“宇宙万物、森罗万象的根本之处存在固有的数学现象”，物理现象的根本是数学现象，数学家凭借一种叫作“数感”的感觉“观察”数学现象，因此与其说数学是逻辑性学科，还不如说是感觉性学科。您这个想法见解独到、与众不同，您能稍微谈一谈您现在的看法吗？

小平：我相信确实有数学存在。

伊东：数学存在具体又是什么呢？

小平：我们仿佛感觉能够触碰到物理存在，不过仔细想想，实际上并不可能。我们无法触碰电子、质子，如果是基本粒子的话，除非使用耗费数亿美元建成的巨型粒子加速器，不然连基本粒子是否存在都无从判断。这样看来，人们认为物理存在比数学存在更真实，这个想法就十分奇怪了。这是因为数学的存在是更加根本的，自然万象则载于数学之上。我们人类拥有观察自然现象的感觉，这些感觉通常被认为只有五感。

伊东：像我的话就只有五感，所以没法像感受物理存在一样“观察”数学存在。正如您所说，只有一小部分人具有“数感”，其中数感特别敏锐的人才能成为数学家。

小平：不对，我觉得每个人都具有数感，只是有些人比较敏锐，有些人比较迟钝而已。我们都知道候鸟，据说候鸟可以通过观察夜空中的星座来判断飞行的方向，如果候鸟没有敏锐的时间和空间感觉，不可能做到凭借星座判断方向。而且星座会随着时间、日期、地点发生变化，我认为正是因为候鸟在进化过程中需要这种神奇的感觉，所以才使得这种感觉变得发达。

再比如说，我们都听过模式识别，人在三四岁时模式识别的感觉就非常敏锐。但是，普通的计算机却无法实现这一点。如果要研究模式识别，就需要一种大型计算机。其实我们人脑中就隐藏着类似这样的大型计算机。然而小型计算机的数字计算能力，我们人类却望尘莫及，处理这类信息的回路明明极其简单。不过我认为在人类的进化过程中，如果从一百万年前我们就需要算数的话，那么现在我们应该具备计算机的数字计算能力。

伊东：您应该认识普林斯顿高等研究院的安德烈·韦伊教授（André Weil），我曾经有幸与他有过交谈的机会，他也说过依靠直觉“观察”数学存在。这与您的看法一致，也许具有创造性思维的数学家们主要是遵循某种确定的直觉开展研究工作，而不是通过设计出无矛盾、形式上的定理后再对其进行逻辑性推理。而且，这种直觉并不是经验上的感觉。

小平：识别模式并不是单纯的视觉行为。例如围棋主要是模式识别，虽然需要思考，但是只会思考却无法成为围棋专家，目前的计算机也做不到这一点。围棋中，好像从棋手刚开始下围棋时就可以判断这个人能否成为围棋专家。如果你喜欢下围棋，想要成为一名职业围棋选手的话，只要你跟专家下一盘棋，他就能告诉你，你可以达到什么样的高度，或者这样的水平还是放弃比较好。

伊东：这也算是一种“棋感”吧？

小平：所以硕士研究生入学考试其实只需面试就可以了。这很好理解，因为有些考生笔试成绩很高，一开口就觉得有点不太对劲儿。

伊东：这可真是个有趣的现象。数学也一样吧？

小平：人们一般认为数学由公理出发，再按照逻辑推导而出。书写全部用符号表示，符号本身却没有意义。如果真是这样，就没有必要选择研究的方向，而且所有问题都需要推导。还有这样的话平面几何也必须从公理出发，再推导出“三角形的内角之和等于两个直角”。然而这无法从公理推出，说到底是一种感觉。

伊东：这不就是逻辑上有一个推论，只要遵循它就行了？

小平：是的，不过只遵循逻辑的话，根本无法确定推进逻辑的方向。

伊东：还是需要有方向的。

小平：没错。

伊东：这样说来，发现一个有意义的数学问题就像哥伦布发现美洲大陆一样。哥伦布先是预感到一种“存在”，然后跟随着直觉引导的方向展开旅程，同样数学家也是凭借着自己的“数感”开拓新的数学研究方向。

小平：我是这么认为的。

伊东：我还想向您请教一个问题，就是为什么数学对自然科学作用如此之大？就像您也在书中提到过，正如黎曼几何学曾经言中爱因斯坦的广义相对论一样，数学研究并非是自然科学的追随者，而是走在其前面，成为解读自然的最有力武器。我们经常误以为首先存在类似物理现象这样的稳定结构，数学结构是以其摹本的方式出现。因此，我们总是感到疑惑，为什么先出现的数学能临摹得如此逼真？您认为物理存在不一定比数学存在稳定，例如在量子力学中，经常会出现数学赋予物理存在意义的情况。甚至我们可以认为数学在深处规定了物理存在，并赋予其意义。

小平：我是有这种感觉，而且不这样想的话就说不通了。最神奇的是计算公式，刚开始只是公式而已，随着时间的推移，公式自然而然地就会发现其他东西。最近我们常常会听到黑洞。黑洞只不过是爱因斯坦广义相对论基本方程式的数学解的表现，我们都以为它不是一个真实的存在，没想到这东西确实存在。据说是遥远的双星，只有其中一颗恒星会发光。因为另一颗是黑洞，所以完全看不见。但是，正因为是双星，所以能够计算它的质量等。而且双星中的一颗会释放气体被另一颗吸收，吸收气体时会释放 X 射线。人造卫星能观测到上述现象，因此就发现了黑洞。

我总觉得所有现象的背后都隐藏着数学现象。

伊东：这太有意思了。话说回来，您在说“观察”数学存在或者现象时，到底观察到了什么？数学家在创造的过程中好像在观察什么东西，这个东西具体又是指什么？我想知道的不只是感觉的对象，而是更理性的东西。

小平：我想这点与物理相同。特别是奇妙的基本粒子，我们并不知道自己看到了什么。为了系统地解释包括理论在内的全部内容，我们在脑中想象出了基本粒子，而且我们绝无法去触碰或者观察它。

伊东：也许存在一个数学的宇宙，数学家们在观察这个宇宙中的某个局部空间，同时从事着创造性的研究。

小平：我们会发现新的数学定理，在这种情况下一定称之为“发现”，而不是“发明”。

伊东：因为“发现了”原本就存在的事物。

小平：是的，我也不知道该如何解释，不过就是一种发现了本来就存在的事物的感觉。也许我应该再稍微认真学习学习，因为这只是我的“妄想”而已。(未完待续)

平面几何是观察判断与逻辑思考的精妙结合，是初等数学教育中培育创造力的好途径. 小平邦彦也曾著《几何世界的邀请》一书, 深入浅出、层层深入, 强烈推荐!

几何世界的邀请