陶哲轩对数学学习的一些建议

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陶哲轩对数学学习的一些建议

2019 年 1 月 21 日 人工智能前沿讲习班

图片来自 mozzochi.org

一些老生常谈的话

正如我以前说的，我没有取得数学研究和学术成功的“秘笈”(secret formula)或者“万金油”(one-size-fits-all prescription)。然而，我可以给出一些通用（也很显然）的建议。

* 编者注：原文分为 25 小节，陶哲轩在他的博客中根据学术生涯各个阶段对文章进行划分，本译文仅为部分内容。

1. 数学不只是分数、考试和解题套路

对一个本科生来说，成绩平均绩点和考试很重要。而比起对概念的真正理解或者理智的、直觉的思维，考试往往更强调对技巧和理论的熟记。

然后，你进入研究生阶段以后，你会发现，更高层次的数学学习 (更重要的，数学研究) 更需要你的智慧 (intellectual faculties)，而不只是记忆或者学习的能力、或者生搬硬套一些现有论证或示例。这往往使得一个人放弃 (至少修正) 很多本科学习习惯。为了提高自己的理解更需要自我激励地学习和试验，而不是盯着一些人为基准比如考试。另外，由于本科阶段主要是教授几十年甚至几个世纪前就已发展起来的成熟的优美的理论，研究生阶段你将遇到更尖端的(也更有趣的)“活生生的”内容。

2. 数学不只是严密和证明

学校刚教授本科生数学时往往用一种直观的，不是很正式的方法 (比如用斜率和面积来表述导数和积分)，再然后被告知要用更精确和正式的方法 (比如用epsilon 和 delta 描述导数) 来解决和思考问题。

知道怎么样严格地进行推理当然很重要，因为这可以让你避免某些常见错误、排除一些错觉。不幸的是，这也把一些“模糊式（fuzzier）”和直觉式（intuitive）思考能得到的那种意料之外的结果因为“不严格”而抛弃了。通常，如果一个人把天生的直觉给抛弃了，那也只能做一些常规的数学了。

严密，不是说把直觉都扔掉，而是用来把那些错误的直觉剃掉，提取和保留正确的直觉。只有把严格的形式和直觉结合起来，才能解决复杂的数学问题：前者用来正确地解决一些细节问题，后者用来把握整体。缺少其中任何一个都会让你在黑暗中摸索很久（虽然这也许也行得通，但效率很低）。所以在你熟悉严密的数学思考方式后，你应该重新发挥你的直觉，并运用你新掌握的思考技巧来检查和提炼这些直觉而不是抛弃他们。要达到的理想的状态是每次探索式的论证都能自然而然地导出严格的论证，反之亦然。

3. 努力（Work hard）

事到临头，依靠聪明临门一脚或许能成功一时，但通常在研究生或更高的层次学术研究中，这样做往往不行。学习数学的任何领域都需要进行一定量的阅读和写作，而不只是思考。与公众通常认为的相反，数学上的突破并不是只依靠（或主要依靠）天才们的“我发现了”（Eureka），而是由经验和直觉来指引的大量艰苦的工作来推进的。（参考对天才的崇拜）。

所谓魔鬼常在细节之中（The devil is often in the details）：如果你觉得自己理解了数学的某个小分支（a piece of mathematics），你应该能在阅读相关文献之后，撰写一份关于其如何推理，如何运作（goes）的总结（sketch）来进行“备份（back up）”，并最终写出关于这个主题的完整且详细的论述（treatment）。

如果一个人可以只负责提出宏大的想法（grand idea），让其他“小人物（lesser mortals）”来处理细节，那就真是太好了。但相信我，数学领域根本不是那样。过往经验说明：只有那些已经有充足的细节和证据（至少有个概念性验证）周密地支撑起宏大想法的论文，才值得让一个人付出时间与精力。如果连想法的发起人都不愿做这些，那就没人愿意了。

4. 享受(enjoy)你的工作

某种意义上这是前面的推论。

如果你不享受自己正在做的事情，就很难长期保持活力去取得成功。最好是从事那些你喜欢的数学领域，而不只是赶时髦。

5. 不要基于出名和魅力作职业决策

仅仅因为魅力（glamour）进入某个领域或者院系不是个好主意。

仅仅因为有名而紧盯着一个领域最有名的问题（或数学家）也不好。

数学里没有那么多名声和魅力，把这些当做你的主要目标来追求也不值得。任何迷人的问题的竞争都十分激烈。只有那些基础扎实的人（尤其是在那些不那么有名的方面有丰富经验的人）才更有可能到达任何地方（are likely to get anywhere）。

一个未解决的有名的难题常常经年累月得不到解决，如果一个人在开始的时候花功夫去解决那些简单的（也不那么有名的）模式问题（model problems），获取技巧（acquiring techniques），直觉，部分结果，内容和文献，便能够在有机会解决实际中的大问题之前积累富有成效的解决问题的方法，并剔除那些徒劳无功的手法。

偶尔情况下，某个大问题相对轻易地被解决了，仅仅是因为那些拥有的正确工具的人没有机会看到这个问题，但对于那些被深入研究的问题，这种情况很少发生，尤其是那些已经因为发现很多行不通的定理（”no go” theorems）和反例而导致整个解决方案被排除了的问题。

因为类似的原因，不应该为了获奖和出名而追求数学；长远来看，仅仅冲着为了做出好的数学和为你的领域做出贡献是一个较好的策略，获奖和出名自然水到渠成。

6. 学习、再学习

干了这行，就永远不要停下学习的脚步，即使在你的专长上。比如，我坚持学习关于基本调和分析 (harmonic analysis) 的一些令人惊叹的内容已有10年了，虽然我在这方面已经写了一些论文。

你不应该因为仅仅知道某个命题和某个基本引理的证明就以为那个引理来得理所当然

你能发现另一个证明吗？
你知道为什么每个前提条件是必须的吗？
哪种概括是已知的/猜测的/启发式的？
有没有更强或更弱的版本可以满足某些应用？
有哪些例子可以用来说明这个引理的作用？
什么时候用那个引理好，什么时候不好？
它可以辅助解决哪种问题？不能辅助解决哪些问题？
在数学其他领域，有没有类似的引理？
那个引理可以推广成更广泛的范式和程序吗？

以上问题哪怕纯粹是给自己用，在做讲座或者写讲义或者其他说明材料时它们都很有用。从而最终，你可以利用有效的脑力速记吸收哪怕是一些非常难的东西，不仅让你更有效地使用它们，而且还腾出更多的大脑空间来学习更多的东西。

7. 不要畏惧学习领域之外的东西

在社会上，对数学恐惧很普遍。不幸的是，在职业数学家中有时也存在这种现象。如果为了在你研究的问题上取得进展而不得不学习一些额外的数学知识，这是个好事——你的知识范围将会扩大，你的工作将更有趣，无论是对你的研究领域中的人还是那个其他领域的人。

如果某个领域很活跃，那就值得研究为什么它这么有趣，人们都在试图解决哪种问题，有哪些比较酷或者惊奇的洞见和结果。这样的话，如果你在工作中遇到一个类似问题、障碍或者现象，你就知道该去哪找解决方法了。

8. 了解你所使用的工具的局限

数学教育（和研究论文）都聚焦于能起作用的方法（当然这也很自然）。但知道工具的局限性也同样重要。

这样就不会在一个起初就注定废掉的策略上浪费时间，而是去寻找新的工具解决问题（或者去解决其他问题）。因此，知道一些反例或者容易分析的模型和知道你所用工具能解决和不能解决的问题是同等重要的。

另外，知道某工具在哪些情况下为其他方法所替代，以及各种方法的利弊也是很有价值的。如果没有其他方法获得或者理解答案时，某个神秘地解决问题的工具被视为魔棒，这时就需要你更好的去理解该工具。

9. 学习其他数学家所用的工具

这条是前面论述的推论。当听他人谈话或者阅读论文时，你会发现自己感兴趣的问题被不熟悉的工具解决，而这种工具似乎不在你自己的“锦囊”（bag of tricks）里。

遇到这种情况时，你应当看看自己的工具是否能完成类似的任务。你也应该看看为什么其他工具如此有效。比如，找到那种工具发挥奇特作用的最简单的模型。

一旦你很好地比较了新工具和老工具各自的利弊，将来遇到这些工具可能派得上用场的情况你就能想起来。经过足够多的练习，你就能永久地将那个技能点加入到自己的技能树里。

10. 默默地问自己，然后回答

当你学习数学时，不管是看书还是听课，通常你只看到最终结果——非常完美，高明和优雅。然后数学发现的过程却往往非常混乱，很多尝试很幼稚、没有成果或者了然无趣。

尽管忽略掉这些“失败”的追究的做法是诱人的，但事实上，他们往往对于更深入理解某个主题是必要的，通过不断地排除，我们最终通往成功之路。所以不应该害怕问“笨”问题，要勇于挑战传统智慧（conventional wisdom）。对这些问题的答案偶尔能得出令人惊讶的结论，但更多的时候是告诉你为什么传统智慧起先在那，而这是很值得知道的。

例如，给一个标准引理，你可以问如果删掉一个假设，会发生什么；又或者试图加强结论。如果一个简单的结果通常用方法 X 证明，可以想想能不能用方法 Y 证明。新的证明方法或许不像原来方法那么优雅，或许根本就行不通，但不管怎么样，都是试图弄清方法X和Y的相对威力。这在证明不那么标准的引理时是很有用的。

11. 质疑自己的工作

如果你意外地发现自己几乎不费吹灰之力地解决一个问题，也不太明白为什么，你应该带着怀疑的眼光重新审视你的解决方法，特别是你所用的方法可能能证明更强，却早已知晓是错误的结论。而这就意味着你所用的方法有瑕疵。

同理，如果你试图证明一些野心勃勃的断言，应该先试试找反例。一旦找到一个，就节省了很多时间。或者你遇到一些困难，而这应该能给出一些证明的线索——告诉你一些为了证明出结论必须消灭的“敌人”。事实上，把这种怀疑论用于数学家的断言（claim）也不是个坏想法。

如果啥都没找到，也能让你理解为何那个断言是正确的，以及它到底有多强（how powerful it is ）。

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