【2023新书】无限维微分几何导论，284页pdf

在无限维空间上的分析和几何是数学和物理学中一个活跃的研究领域。即使在乍一看似乎真正有限维的问题上，应用的例子也会自然出现。你可能听说过，长时间内准确预测天气是不可能的。通过研究某些无限维流形的曲率（Arnold, 1966）可以解释这一点。这个例子表明，日常现象与居住在无限维流形上的几何对象之间有着错综复杂的联系。近年来，无限维（微分）几何的新应用领域已大大扩展。其中更令人惊讶的新颖应用是在随机和粗糙分析中的应用（T. Lyons 的粗糙路径理论导致了在无限维群中的路径空间；参见 Friz 和 Hairer, 2020）以及通过 Hairer 的规整性结构对随机偏微分方程的重整化（参见 Bogfjellmo 和 Schmeding, 2018）。

https://www.cambridge.org/core/books/an-introduction-to-infinitedimensional-differential-geometry/6483795C98EE417C0F3654F6C192C3BC#:~:text=Book%20description&text=It%20focuses%20on%20two%20main,Riemannian%20metrics%20for%20shape%20analysis.

本书的目的是介绍无限维（微分）几何。无限维的微分几何有许多种类，如黎曼和辛普莱克特几何。人们可以研究李群及其操作，也可以研究Kähler流形或Finsler几何。从这个非常不完整的列表中已经可以看出，要涵盖在（无限维）微分几何标签下包含的多样化主题的大部分是不可能的。因此，本书将主要关注两个主要领域：黎曼几何和李群。这些主题可以说是上述列表中最突出和研究最深入的。此外，基于（可微）映射流形的基本结果，可以从两个主题中接近某些基本但重要的示例。但是，重要的是要强调，本书的重点是介绍性质的。如果这可以使我们避免冗长的技术性讨论，我们通常会避免以其最一般的形式讨论结果。在进一步概述本书的计划之前，让我们强调两个无限维几何结构的应用。