In this paper, we present a multiscale framework for solving the 2D Helmholtz equation in heterogeneous media without scale separation and in the high frequency regime where the wavenumber $k$ can be large. The main innovation is that our methods achieve a nearly exponential rate of convergence with respect to the computational degrees of freedom, using a coarse grid of mesh size $O(1/k)$ without suffering from the well-known pollution effect. The key idea is a non-overlapped domain decomposition and its associated coarse-fine scale decomposition of the solution space that adapts to the media property and wavenumber; this decomposition is inspired by the multiscale finite element method (MsFEM). We show that the coarse part is of low complexity in the sense that it can be approximated with a nearly exponential rate of convergence via local basis functions, due to the compactness of a restriction operator that maps Helmholtz-harmonic functions to their interpolation residues on edges, while the fine part is local such that it can be computed efficiently using the local information of the right hand side. The combination of the two parts yields the overall nearly exponential rate of convergence of our multiscale method. Our method draws many connections to multiscale methods in the literature, which we will comment in detail. We demonstrate the effectiveness of our methods theoretically and numerically; an exponential rate of convergence is consistently observed and confirmed. In addition, we observe the robustness of our methods regarding the high contrast in the media numerically.
翻译:在本文中,我们提出了一个多尺度框架,用以在不进行比例分离的多种媒体和高频系统中解决2D Helmholtz等式2D Helmholtz, 而不进行比例分离, 高频系统中的波数数量可能很大。 主要的创新是,我们的方法在自由计算度方面达到了接近指数的趋同速度, 使用粗略网格网状的网块大小为O( 1/k)$O( / k), 而不受到众所周知的污染效应的影响。 关键的想法是, 将Helmholtz- 调和功能的功能绘制在边缘的图解析, 及其相关的粗略比例对适应媒体属性和波数的解决方案空间的分解; 这种分解是由多尺度限定元素法方法( MMSMSFEM ) 所启发的。 我们显示的是, 粗尺度部分的趋同率, 通过本地媒体的本地信息, 我们的趋同性方法的混合, 我们的数级方法的组合, 我们的数级方法的趋同性方法。 我们的数级方法的数值的组合, 我们的数级方法, 我们的数级方法的趋同性方法, 我们的数级方法的趋同性方法 的趋同率的数率的数级方法, 我们的趋同率的结合, 我们的数性方法, 我们的数级方法, 我们的数级方法的结合率的 的 的 的结合 的 的数率 的结合 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的