The problem of recovering a signal $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$ from a set of magnitude measurements $y_i=|\langle \mathbf{a}_i, \mathbf{x} \rangle |, \; i=1,\ldots,m$ is referred as phase retrieval, which has many applications in fields of physical sciences and engineering. In this paper we show that the smoothed amplitude flow model for phase retrieval has benign geometric structure under the optimal sampling complexity. In particular, we show that when the measurements $\mathbf{a}_i\in \mathbb{R}^n$ are Gaussian random vectors and the number of measurements $m\ge Cn$, our smoothed amplitude flow model has no spurious local minimizers with high probability, ie., the target solution $\mathbf{x}$ is the unique global minimizer (up to a global phase) and the loss function has a negative directional curvature around each saddle point. Due to this benign geometric landscape, the phase retrieval problem can be solved by the gradient descent algorithms without spectral initialization. Numerical experiments show that the gradient descent algorithm with random initialization performs well even comparing with state-of-the-art algorithms with spectral initialization in empirical success rate and convergence speed.
翻译:=1,\ldf{x{x{x}x{x{x{x{x}}{mathbb{R ⁇ n$ 从一组量度测量中恢复信号 $y_ mathb}langle \mathbbf{a ⁇ i,\;\; i=1,\ldbf{x}\rrgn}\; i=1,\\\ldbf{x{x{x}xxx{mathbb{rb{R}}}n$ 的问题被称作阶段检索, 它在物理科学和工程科学和工程领域有许多应用。 在本文中我们显示, 平滑的振动振动流流模型在最佳的物理科学和工程领域有许多应用。 在最佳取样复杂程度下, 平滑动的振动的振荡流流模型具有良好的地球最小化结构。 特别是, 当每类量级度测量的初始度测量速度度测量时, 度与初始的轨迹变平 度 度 度 度 度 度 度 度 度 递解 度 度 度 度 度 度 度 的 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度