This paper considers the iterative solution of linear systems arising from discretization of the anisotropic radiative transfer equation with discontinuous elements on the sphere. In order to achieve robust convergence behavior in the discretization parameters and the physical parameters we develop preconditioned Richardson iterations in Hilbert spaces. The preconditioner is constructed in two steps where the first step ensures mesh independence while the second step aims at reducing the influence of the optical parameters. We show convergence of the resulting scheme when applied to the second-order formulation of the radiative transfer equation, viz. the even-parity equations. We discuss in detail the efficient implementation and application of the discrete operators. In particular, for the considered discontinuous spherical elements, the scattering operator becomes dense and we show that $\mathcal{H}$- or $\mathcal{H}^2$-matrix compression can be applied in a black-box fashion to obtain almost linear or linear complexity when applying the corresponding approximations. The effectiveness of the proposed method is shown in numerical examples.


翻译:本文审议了由球体上的不连续元素分解产生的线性放射转移方程式的迭代解决方案。 为了在离散参数和我们在希尔伯特空间开发的理查德森必备迭代参数中实现强有力的趋同行为, 我们开发了在希尔伯特空间开发的理查森必备迭代参数。 先决条件是, 第一步确保网格独立, 第二步旨在减少光学参数的影响。 当应用辐射转移方程式的二阶配方时, 我们显示了由此产生的方案趋同, 即均衡方程式。 我们详细讨论了离散操作器的高效实施和应用。 特别是, 对于被视为不连续的球形元素, 撒散操作器变得密集。 我们显示, $\ mathcal{H}- $ 或$\ mathcal{H ⁇ 2$- matrix 可以在黑盒中应用, 以便在应用相应的近似时获得几乎线性或线性的复杂性。 提议的方法的有效性以数字示例显示。

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