In this work, we give a unifying view of locality in four settings: distributed algorithms, sequential greedy algorithms, dynamic algorithms, and online algorithms. We introduce a new model of computing, called the online-LOCAL model: the adversary reveals the nodes of the input graph one by one, in the same way as in classical online algorithms, but for each new node the algorithm can also inspect its radius-$T$ neighborhood before choosing the output. Instead of looking ahead in time, we have the power of looking around in space. We compare the online-LOCAL model with three other models: the LOCAL model of distributed computing, where each node produces its output based on its radius-$T$ neighborhood, its sequential counterpart SLOCAL, and the dynamic-LOCAL model, where changes in the dynamic input graph only influence the radius-$T$ neighborhood of the point of change. SLOCAL and dynamic-LOCAL models are sandwiched between LOCAL and online-LOCAL models, with LOCAL being the weakest and online-LOCAL the strongest model. In this work, we seek to answer the following question: is the online-LOCAL model strictly stronger than the LOCAL model when we look at graph algorithms for solving locally checkable labeling problems (LCLs)? First, we show that for LCL problems in paths, cycles, and rooted trees, all four models are roughly equivalent: the locality of any LCL problem falls in the same broad class - $O(\log^* n)$, $\Theta(\log n)$, or $n^{\Theta(1)}$ - in all four models. In particular, prior work on the LOCAL model directly generalizes to all four models. Second, we show that this equivalence does not hold in two-dimensional grids. We show that the locality of the $3$-coloring problem is $O(\log n)$ in the online-LOCAL model, while it is known to be $\Omega(\sqrt{n})$ in the LOCAL model.


翻译:在这项工作中,我们用四个设置对地点进行统一观察:分布式算法、连续的贪婪算法、动态算法和在线算法。我们引入了一个新的计算模型,称为在线LOCOL模型:对手以与经典在线算法相同的方式逐个显示输入图的节点,但对于每一个新节点,算法也可以在选择输出之前检查其半径-$邻居。我们没有时间观察空间,而是有力量观察。我们比较了在线的LOCAL模型和其他三个模型:LOCAL分布式 LOCAL模型,其中每个宽节以其半径-美元邻居、其顺序对应的 SLOCOL 模型和动态-LOCAL 模型,其中动态输入了移动图的半径-T$附近。 SLOCAL 和动态LOCAL 模型都标定在LCL 模型中, 所有的网络- cal- 数字模型都在LCLL 模型中标定, 在第一个模型中显示我们最弱和最强的模型。

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