We consider finite element approximations of the Maxwell eigenvalue problem in two dimensions. We prove, in certain settings, convergence of the discrete eigenvalues using Lagrange finite elements. In particular, we prove convergence in three scenarios: piecewise linear elements on Powell--Sabin triangulations, piecewise quadratic elements on Clough--Tocher triangulations, and piecewise quartics (and higher) elements on general shape-regular triangulations. We provide numerical experiments that support the theoretical results. The computations also show that, on general triangulations, the eigenvalue approximations are very sensitive to nearly singular vertices, i.e., vertices that fall on exactly two "almost" straight lines.


翻译:我们从两个维度来考虑 Maxwell egenvaly 问题的有限元素近似值。 我们在某些环境里证明, 使用 Lagrange 有限元素的离散的 egenvaly 结合了 。 特别是, 我们证明, 在三种情景中, 我们证明了趋同 : 鲍威尔- Sabin 三角形上的线性元素, 克拉夫- Tocher 三角形上的片断线性元素, 以及普通形状- 普通三角体上的片断性二次元素( 和更高) 。 我们提供了支持理论结果的数值实验。 计算还显示, 在一般三角体中, egenvalue 近似值对近乎单一的脊椎非常敏感, 即, 处于完全两条“ 接近直线” 的脊椎。

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