In this paper we consider the spatial semi-discretization of conservative PDEs. Such finite dimensional approximations of infinite dimensional dynamical systems can be described as flows in suitable matrix spaces, which in turn leads to the need to solve polynomial matrix equations, a classical and important topic both in theoretical and in applied mathematics. Solving numerically these equations is challenging due to the presence of several conservation laws which our finite models incorporate and which must be retained while integrating the equations of motion. In the last thirty years, the theory of geometric integration has provided a variety of techniques to tackle this problem. These numerical methods require to solve both direct and inverse problems in matrix spaces. We present two algorithms to solve a cubic matrix equation arising in the geometric integration of isospectral flows. This type of ODEs includes finite models of ideal hydrodynamics, plasma dynamics, and spin particles, which we use as test problems for our algorithms.


翻译:在本文中,我们考虑了保守的PDE的空间半分化问题。这种无限维维动力系统的有限维维近似可被描述为在合适的矩阵空间的流动,这反过来又导致需要解决理论和应用数学的经典和重要课题多面矩阵方程式。用数字方式解决这些方程式具有挑战性,因为存在若干保护法,我们有限的模型结合了运动方程式,必须保留这些方程式。在过去三十年中,几何集成理论为解决这一问题提供了各种技术。这些数字方法需要解决矩阵空间的直接问题和反的问题。我们提出了两种算法,以解决异光谱流动的几何集成中产生的立方程式方程式等式。这种模式包括理想水力动力、等离子动态和旋粒子的有限模型,我们用这些模型作为我们算法的测试问题。

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