We study a constrained shortest path problem in group-labeled graphs with nonnegative edge length, called the shortest non-zero path problem. Depending on the group in question, this problem includes two types of tractable variants in undirected graphs: one is the parity-constrained shortest path/cycle problem, and the other is computing a shortest noncontractible cycle in surface-embedded graphs. For the shortest non-zero path problem with respect to finite abelian groups, Kobayashi and Toyooka (2017) proposed a randomized, pseudopolynomial-time algorithm via permanent computation. For a slightly more general class of groups, Yamaguchi (2016) showed a reduction of the problem to the weighted linear matroid parity problem. In particular, some cases are solved in strongly polynomial time via the reduction with the aid of a deterministic, polynomial-time algorithm for the weighted linear matroid parity problem developed by Iwata and Kobayashi (2021), which generalizes a well-known fact that the parity-constrained shortest path problem is solved via weighted matching. In this paper, as the first general solution independent of the group, we present a rather simple, deterministic, and strongly polynomial-time algorithm for the shortest non-zero path problem. The algorithm is based on Dijkstra's algorithm for the unconstrained shortest path problem and Edmonds' blossom shrinking technique in matching algorithms, which is inspired by Derigs' faster algorithm (1985) for the parity-constrained shortest path problem via a reduction to weighted matching. Furthermore, we improve our algorithm so that it does not require explicit blossom shrinking, and make the computational time match Derigs' one. In the speeding-up step, a dual linear programming formulation of the equivalent problem based on potential maximization for the unconstrained shortest path problem plays a key role.


翻译:在非负偏差长度的团体标签图中,我们研究一个限制最短路径问题,称为最短的非零路径问题。根据有关组别,这一问题包括两种类型在非定向图中可移动的变方:一种是平价限制的最短路径/周期问题,另一个是在表面嵌入图中计算一个最短的不可承包周期。对于限制的ABelian集团而言,最短的非零路径问题,Kobayashi和Toyooka (2017年) 提出一个随机性、假极权主义时间算法通过永久计算来解决一个随机性更快速的、伪极权时速的算法。对于较普通的集团来说,山口(2016年) 显示将问题减到加权线性线性对等等问题。在本文件中,最短的递减轨算法中, 最短的递减法是最短的路径, 最短的递减法是最短的, 最短的递减法则以最短的算法为基础, 最短的变法是最短的变法, 最短的递化的变法是最短的算法, 以最短的变法是最短的变法的变法的变法, 以最短的变法为基的变法的变法。

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